Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 12, 57, 38, 32, 46.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 72 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 12x = 72

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 8 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

6 / 8

P =

4.Xác suấtKhó

7 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,2, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 7p = 0,2

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 754,9 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 80 điện thoại, trung bình 52,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 6 h. Mẫu 2: 30 điện thoại, trung bình 40,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 19 h. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 52,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 30x̄₂ = 40,5 hσ₂ = 19 h99%

E = h

8.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 30 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 4,9 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 29, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 16,047 và 2,5% nằm trên 45,722.

n = 30s = 4,9 µmχ² = 16,047, 45,722

σ = µm

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 66,2 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 66,2s = 20n = 25

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 1,5 đơn vị của trung bình với lực 80%. Độ lệch chuẩn là 12. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

α = 0,05lực của kiểm định = 80%δ = 1,5σ = 12z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 15Σy = 84Σx² = 55Σy² = 1478Σxy = 227

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 18) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 18)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 16,82

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 185/5 = 37

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−25)² + 20² + 1² + (−5)² + 9² = 1132

Độ lệch chuẩn

s = √(1132/4) = 16,82

Đáp số

s = 16,82

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1587

Chuẩn hóa

z = 1

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Đáp số

P = 0,1587

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,1648

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

Đáp số

P = 0,1648

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,5767

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Cộng lại

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Đáp số

P = 0,5767

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3085

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Chuẩn hóa

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

Đuôi trên

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Đáp số

P = 0,3085

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Phân bố của hiệu

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 9,101 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 52,5 − 40,5 = 12

Sai số chuẩn

SE = √(6²/80 + 19²/30) = 3,533

Sai số biên

E = 2,576·3,533 = 9,101

Đáp số

E = 9,101 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 3,902 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 29·4,9² = 696,3

Các giới hạn cho σ²

696,3/45,722 = 15,23

696,3/16,047 = 43,39

Giới hạn cho σ

σ = √15,23 = 3,902 µm

Đáp số

σ = 3,902 µm

Khoảng 95% cho σ: [3,902, 6,587] µm.

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Thống kê kiểm định

t = (66,2 − 75)/4 = −2,2

Đáp số

t = −2,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 396

Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = ((1,645 + 0,842)·12/1,5)² = 395,9

Làm tròn lên

n = 396

Đáp số

n = 396

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9673

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 227 − 15·84/5 = −25

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1478 − 84²/5 = 66,8

Hệ số tương quan

r = −25/√(10·66,8) = −0,9673

Đáp số

r = −0,9673

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 2,8

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

Đường hồi quy

b = −28/10 = −2,8

a = 19,4 − (−2,8)·3 = 27,8

ŷ = 27,8 − 2,8·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 27,8 + (−2,8)·4,5 = 15,2

Phần dư

e = 18 − 15,2 = 2,8

Đáp số

e = 2,8

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1