Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
152025303540

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 17, 15, 33, 42, 20, 38.

n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 64 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 5x = 64
P =
3.Xác suấtTrung bình
đỏ: 7xanh dương: 3

Một túi chứa 7 quả bóng đỏ và 3 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

7 / 3
P =
4.Xác suấtKhó
€p(x)−20,6540,3180,05

Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €6 với xác suất 0,3 và €20 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €2€6: p = 0,3€20: p = 0,05
E(G) = €
5.Phân phối chuẩnTrung bình
93,25103P = ?

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 93,25 và 103 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x1 = 93,25x2 = 103
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 178x = ?10%

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 10% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 10).

μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 12, s = 15L = ?Ux̄ = 62,5E95%

Một mẫu 12 phần tử có trung bình 62,5 và độ lệch chuẩn s = 15. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 12x̄ = 62,5s = 1595%t(11) = 2,201
giới hạn dưới =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 40. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2,5?

σ = 40E = 2,595%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,99801,998

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 48,63 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,63s = 5n = 64
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1α = 0,01βσ = 6, lực của kiểm định 90%, n = ?

Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,01 phải phát hiện được sự dịch chuyển 1 đơn vị của trung bình với lực 90%. Độ lệch chuẩn là 6. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

α = 0,01lực của kiểm định = 90%δ = 1σ = 6zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy21141662583310431250xy5102040

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy294156218241032xy510102030x = 3

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3, 7) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(3, 7)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,61

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 165/6 = 27,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−10,5)² + (−12,5)² + 5,5² + 14,5² + (−7,5)² + 10,5² = 673,5

Độ lệch chuẩn

s = √(673,5/5) = 11,61

Đáp số

s = 11,61
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8849

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −1,2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1,2) = 0,1151
P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Đáp số

P = 0,8849
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,4667

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Đáp số

P = 0,4667
4.Xác suất

Đáp số: E(G) = 0,8 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 4 (p = 0,3), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 4·0,3 + 18·0,05 − 2·0,65 = 0,8 €

Đáp số

E(G) = 0,8 €

Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,2529

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,2) − Φ(−0,45) = 0,5793 − 0,3264 = 0,2529

Đáp số

P = 0,2529
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 169 cm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Quay lại x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Đáp số

x = 169,03 cm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 52,97

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Sai số biên

E = 2,201·15/√12 = 9,531

Khoảng

62,5 ± 9,531 → [52,97, 72,03]

Đáp số

giới hạn dưới = 52,97
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 984

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,96·40/2,5)² = 983,4

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 984

Đáp số

n = 984
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,192

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625

Thống kê kiểm định

t = (48,63 − 50)/0,625 = −2,192

Đáp số

t = −2,192
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 469

Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = ((2,326 + 1,282)·6/1)² = 468,6

Làm tròn lên

n = 469

Đáp số

n = 469
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9969

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 178/6 = 29,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 284
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1159

Hệ số tương quan

r = 284/√(70·1159) = 0,9969

Đáp số

r = 0,9969
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −4,95

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 101/5 = 20,2

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110

Đường hồi quy

b = 110/40 = 2,75
a = 20,2 − 2,75·6 = 3,7
ŷ = 3,7 + 2,75·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 3,7 + 2,75·3 = 11,95

Phần dư

e = 7 − 11,95 = −4,95

Đáp số

e = −4,95

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1