Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
1520253035404550

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 26, 36, 25, 13, 54.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 60,4 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 12x = 60,4
P =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,210,220,130,340,2μ = 2,1

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,1, 0,3, 0,2
σ =
4.Xác suấtKhó
xp(x)00,3510,320,35μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = 10X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 10X + 1
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
−3−2−10123zvùng tô bóng bên phải z = 0,0239

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,0239. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,0239
z =
6.Phân phối chuẩnKhó
0,05 mm0D − d?

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,05 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 13, s = 1,5LU = ?x̄ = 95E99%

Một mẫu 13 phần tử có trung bình 95 và độ lệch chuẩn s = 1,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 13x̄ = 95s = 1,599%t(12) = 3,055
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 11. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 11E = 499%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
−1,961,96z = ?

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 80 chi tiết có chiều dài trung bình 88 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 14 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 80 chi tiết có trung bình 91,9 mm, độ lệch chuẩn đã biết 6 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 80x̄₁ = 88 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 80x̄₂ = 91,9 mmσ₂ = 6 mm
z =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1? Độ lệch chuẩn là 4. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 4E = 190%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy177719802182239325110xy202580100

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy234961281510221222xy5101020x = 5

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5.

n = 6x = 5
ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15,32

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 154/5 = 30,8

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + 5,2² + (−5,8)² + (−17,8)² + 23,2² = 938,8

Độ lệch chuẩn

s = √(938,8/4) = 15,32

Đáp số

s = 15,32
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,7881

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −0,8

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881
3.Xác suất

Đáp số: σ = 1,446

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,2 = 2,1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,5

Phương sai

Var(X) = 6,5 − 2,1² = 2,09
σ = √2,09 = 1,446

Đáp số

σ = 1,446
4.Xác suất

Đáp số: σY = 8,367

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |10|·0,8367 = 8,367

Đáp số

σY = 8,367

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 10·1 + 1 = 11.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,98

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,0239 = 0,9761

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,9761 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,98

Đáp số

z = 1,98
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9875

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Xác suất

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Đáp số

P = 0,9875
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 96,27

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Sai số biên

E = 3,055·1,5/√13 = 1,271

Khoảng

95 ± 1,271 → [93,73, 96,27]

Đáp số

giới hạn trên = 96,27
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 51

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·11/4)² = 50,18

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 51

Đáp số

n = 51
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −2,29

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(14²/80 + 6²/80) = √2,9 = 1,703

Thống kê kiểm định

z = (88 − 91,9)/1,703 = −2,29

Đáp số

z = −2,29

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 44

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,645·4/1)² = 43,3

Làm tròn lên

n = 44

Đáp số

n = 44
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9251

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 442/5 = 88,4

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158
Syy = Σ(y − ȳ)² = 729,2

Hệ số tương quan

r = 158/√(40·729,2) = 0,9251

Đáp số

r = 0,9251
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 9,919

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 83/6 = 13,83

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 137

Đường hồi quy

b = 137/70 = 1,957
a = 13,83 − 1,957·7 = 0,1333
ŷ = 0,1333 + 1,957·x

Dự đoán

ŷ = 0,1333 + 1,957·5 = 9,919

Đáp số

ŷ = 9,919

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1