Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 25, 17, 33, 22, 32, 46, 42.
n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 85 là bao nhiêu?
μ = 70σ = 12x = 85
P =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,05, 0,2, 0,25
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
Một bài kiểm tra có 8 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?
n = 8p = 0,3k = 4
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 117,8 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 30 điện thoại, trung bình 108,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 18 h. Mẫu 2: 60 điện thoại, trung bình 115,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 8 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 108,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 115,5 hσ₂ = 8 h95%
giới hạn dưới = h
8.Khoảng tin cậyKhó
Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 6 ô, năng suất trung bình 91,5 kg, độ lệch chuẩn 3,5 kg. Nhóm ô 2: 20 ô, trung bình 91 kg, độ lệch chuẩn 5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 91,5s₁ = 3,5n₂ = 20x̄₂ = 91s₂ = 599%t(24) = 2,797
E = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 104,8 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 104,8s = 8n = 16
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 72 trong 120 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 65 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 72n₁ = 120x₂ = 65n₂ = 100
z =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
n = 5Σx = 15Σy = 102Σx² = 55Σy² = 2190Σxy = 273
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 10,52
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 217/7 = 31
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−6)² + (−14)² + 2² + (−9)² + 1² + 15² + 11² = 664
Độ lệch chuẩn
s = √(664/6) = 10,52
Đáp số
s = 10,52
2.Thống kê mô tả
Đáp số: P = 0,1056
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = 1,25
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Đáp số
P = 0,1056
3.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 2,3
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,05 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,05 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,3
Phương sai
Var(X) = 6,3 − 2² = 2,3
Đáp số
Var(X) = 2,3
4.Xác suất
Đáp số: P = 0,1361
Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Công thức nhị thức
P(X = 4) = 70·0,34·0,74 = 70·0,0081·0,2401 = 0,1361
Đáp số
P = 0,1361
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,02275
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của tổng
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Chuẩn hóa
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Đuôi trên
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8413
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Chuẩn hóa
z = (0 − 10)/10 = −1
Xác suất
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Đáp số
P = 0,8413
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −13,75 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 108,5 − 115,5 = −7
Sai số chuẩn
SE = √(18²/30 + 8²/60) = 3,445
Sai số biên
E = 1,96·3,445 = 6,752
Khoảng
−7 ± 6,752 → [−13,75, −0,2482]
Đáp số
giới hạn dưới = −13,75 h
Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: E = 6,154 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Độ lệch chuẩn gộp
sp² = (5·3,5² + 19·5²)/24 = 22,34
sp = 4,727
Sai số biên
E = 2,797·4,727·√(1/6 + 1/20) = 6,154
Đáp số
E = 6,154 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = 2,4
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Sai số chuẩn
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Thống kê kiểm định
t = (104,8 − 100)/2 = 2,4
Đáp số
t = 2,4
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −0,7619
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 72/120 = 0,6
p̂₂ = 65/100 = 0,65
p̂ = 137/220 = 0,6227
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,6227·0,3773·(1/120 + 1/100)) = 0,06563
Thống kê kiểm định
z = (0,6 − 0,65)/0,06563 = −0,7619
Đáp số
z = −0,7619
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r = −0,9986
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các tổng đã tâm hóa
Sxy = 273 − 15·102/5 = −33
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2190 − 102²/5 = 109,2
Hệ số tương quan
r = −33/√(10·109,2) = −0,9986
Đáp số
r = −0,9986
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: x = 2,6
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Đường hồi quy
b = −30/10 = −3
a = 19,8 − (−3)·3 = 28,8
ŷ = 28,8 − 3·x
Giải tìm x
x = (21 − 28,8)/(−3) = 2,6
Đáp số
x = 2,6
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1