Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 12, 50, 32, 51, 45.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 104,8 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 3 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

3 / 7

P =

4.Xác suấtKhó

Một bài kiểm tra có 9 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 5 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 9p = 0,3k = 5

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của bu lông là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 40 g và độ lệch chuẩn 1,2 g. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 5 trong số đó nhỏ hơn 204 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5< 204 g

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 15 phần tử có trung bình 97,5 và độ lệch chuẩn s = 8,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 15x̄ = 97,5s = 8,599%t(14) = 2,977

E =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 38. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 38E = 0,590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Trung bình của một tổng thể được cho là 50; độ lệch chuẩn tổng thể đã biết là 32. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 64 quan sát có trung bình 55,2. Kiểm định H₀: μ = 50 với H₁: μ ≠ 50. Tìm giá trị p p.

μ₀ = 50σ = 32n = 64x̄ = 55,2H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 197,6. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 197,6σ = 15n = 6490%

L =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 16,39

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 190/5 = 38

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−26)² + 12² + (−6)² + 13² + 7² = 1074

Độ lệch chuẩn

s = √(1074/4) = 16,39

Đáp số

s = 16,39

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,7257

Chuẩn hóa

z = 0,6

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Đáp số

P = 0,7257

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,06667

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Đáp số

P = 0,06667

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,07351

Công thức nhị thức

P(X = 5) = 126·0,3⁵·0,7⁴ = 126·0,00243·0,2401 = 0,07351

Đáp số

P = 0,07351

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9319

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Chuẩn hóa

z = (204 − 200)/2,683 = 1,49

Xác suất

P = Φ(1,49) = 0,9319

Đáp số

P = 0,9319

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Phân bố của hiệu

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Chuẩn hóa

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 6,534

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Sai số biên

E = 2,977·8,5/√15 = 6,534

Đáp số

E = 6,534

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 15631

Giải tìm n

n = (1,645·38/0,5)² = 15630

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 15631

Đáp số

n = 15631

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: p = 0,1936

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Thống kê kiểm định

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (55,2 − 50)/4 = 1,3

Diện tích đuôi

Φ(1,3) = 0,9032

1 − Φ(1,3) = 0,0968

Giá trị p

p = 2·0,0968 = 0,1936

Đáp số

p = 0,1936

p > 0,05, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5%.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 194,5

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·15/√64 = 3,084

Giới hạn của khoảng

L = 197,6 − 3,084 = 194,5

Đáp số

L = 194,5

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9777

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 321/6 = 53,5

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 355,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 839,5

Hệ số tương quan

r = 355,5/√(157,5·839,5) = 0,9777

Đáp số

r = 0,9777

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 24,47

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 94/6 = 15,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Đường hồi quy

b = 154/70 = 2,2

a = 15,67 − 2,2·7 = 0,2667

ŷ = 0,2667 + 2,2·x

Dự đoán

ŷ = 0,2667 + 2,2·11 = 24,47

Đáp số

ŷ = 24,47

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1