Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 28, 12, 18, 12, 59, 54, 55.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 10. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 92 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 10x = 92

P =

3.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 2 người từ một nhóm 11 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 11k = 2

N =

4.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €8 với xác suất 0,15 và €20 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €2€8: p = 0,15€20: p = 0,05

E(G) = €

5.Phân phối chuẩnTrung bình

X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 33,3 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33,3 min

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 10 phần tử có trung bình 77,5 và độ lệch chuẩn s = 8. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 10x̄ = 77,5s = 899%t(9) = 3,25

giới hạn trên =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 27. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 27E = 1,590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

8 nhân viên làm bài kiểm tra đánh máy trước và sau một khóa đào tạo. Với mỗi người, hiệu d = sau − trước (từ mỗi phút) được ghi lại. Hiệu trung bình là −3,45 và độ lệch chuẩn của các hiệu là 6,1. Tìm thống kê kiểm định ghép cặp t cho H₀: μ_d = 0.

n = 8d̄ = −3,45s_d = 6,1

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 36 phép đo có trung bình 77,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 5. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 77,3σ = 5n = 3690%

L =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 110Σy = 371Σx² = 2510Σy² = 28651Σxy = 8462

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 21,32

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 238/7 = 34

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−6)² + (−22)² + (−16)² + (−22)² + 25² + 20² + 21² = 2726

Độ lệch chuẩn

s = √(2726/6) = 21,32

Đáp số

s = 21,32

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,7881

Chuẩn hóa

z = −0,8

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

3.Xác suất

Đáp số: N = 55

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Đáp số

N = 55

4.Xác suất

Đáp số: E(G) = 0,2 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 6 (p = 0,15), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 6·0,15 + 18·0,05 − 2·0,8 = 0,2 €

Đáp số

E(G) = 0,2 €

Giá trị dương nghĩa là trung bình bạn thắng tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3015

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Chuẩn hóa

z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52

Đuôi trên

P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015

Đáp số

P = 0,3015

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Phân bố của hiệu

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Chuẩn hóa

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 85,72

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Sai số biên

E = 3,25·8/√10 = 8,222

Khoảng

77,5 ± 8,222 → [69,28, 85,72]

Đáp số

giới hạn trên = 85,72

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 877

Giải tìm n

n = (1,645·27/1,5)² = 876,8

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 877

Đáp số

n = 877

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,6

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Sai số chuẩn của hiệu trung bình

SE = 6,1/√8 = 2,157

Thống kê kiểm định

t = −3,45/2,157 = −1,6

Đáp số

t = −1,6

Với df = 7, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,365; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 75,93

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·5/√36 = 1,371

Giới hạn của khoảng

L = 77,3 − 1,371 = 75,93

Đáp số

L = 75,93

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9437

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 8462 − 110·371/5 = 300

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 28651 − 371²/5 = 1123

Hệ số tương quan

r = 300/√(90·1123) = 0,9437

Đáp số

r = 0,9437

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 18,4

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Đường hồi quy

b = 80/40 = 2

a = 12,4 − 2·6 = 0,4

ŷ = 0,4 + 2·x

Dự đoán

ŷ = 0,4 + 2·9 = 18,4

Đáp số

ŷ = 18,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1