Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
15202530354045

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 28, 28, 14, 11, 49, 23.

n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 15. Tìm điểm z z của điểm số 72,5.

μ = 50σ = 15x = 72,5
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,0510,220,1530,340,3μ = 2,6

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,2, 0,15, 0,3, 0,3
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
xp(x)10,3520,230,340,15μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15Y = −2X + 20
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
105 s95,4 sX + Y?

X có phân bố chuẩn với trung bình 60 s và độ lệch chuẩn 5 s; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 45 s và độ lệch chuẩn 4 s. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 95,4 s. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95,4 s
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 100x = ?20%

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 20% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 20).

μ = 100σ = 15P = 20%
x = điểm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 21, s = 17LU = ?x̄ = 97E90%

Một mẫu 21 phần tử có trung bình 97 và độ lệch chuẩn s = 17. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 21x̄ = 97s = 1790%t(20) = 1,725
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 495%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 12E = 495%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,06402,064

Một mẫu 25 sinh viên có điểm trung bình 77,4 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,4s = 5n = 25
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
σ = 5, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,595%

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5? Độ lệch chuẩn là 5. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 5E = 0,595%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy12722131741551369xy2461020

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy128225322420522xy242025x = 3,5

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 26) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 26)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,52

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 153/6 = 25,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 2,5² + 2,5² + (−11,5)² + (−14,5)² + 23,5² + (−2,5)² = 913,5

Độ lệch chuẩn

s = √(913,5/5) = 13,52

Đáp số

s = 13,52
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1,5

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (72,5 − 50)/15 = 1,5

Đáp số

z = 1,5
3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,54

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,05 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,6

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,3

Phương sai

Var(X) = 8,3 − 2,6² = 1,54

Đáp số

Var(X) = 1,54
4.Xác suất

Đáp số: σY = 2,179

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 2,25, Var(X) = 1,188, σX = 1,09

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |−2|·1,09 = 2,179

Đáp số

σY = 2,179

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·2,25 + 20 = 15,5.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9332

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Chuẩn hóa

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Đáp số

P = 0,9332
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 87,38 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Quay lại x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 điểm

Đáp số

x = 87,38 điểm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 103,4

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Sai số biên

E = 1,725·17/√21 = 6,399

Khoảng

97 ± 6,399 → [90,6, 103,4]

Đáp số

giới hạn trên = 103,4
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 35

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,96·12/4)² = 34,57

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 35

Đáp số

n = 35
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,4

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Thống kê kiểm định

t = (77,4 − 75)/1 = 2,4

Đáp số

t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 385

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,96·5/0,5)² = 384,2

Làm tròn lên

n = 385

Đáp số

n = 385
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9611

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 102/6 = 17

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58
Syy = Σ(y − ȳ)² = 200

Hệ số xác định

r² = −58²/(17,5·200) = 0,9611

Đáp số

r² = 0,9611

Khoảng 96,11% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 3,45

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 117/5 = 23,4

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

Đường hồi quy

b = −17/10 = −1,7
a = 23,4 − (−1,7)·3 = 28,5
ŷ = 28,5 − 1,7·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 28,5 + (−1,7)·3,5 = 22,55

Phần dư

e = 26 − 22,55 = 3,45

Đáp số

e = 3,45

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1