Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
1520253035

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 37, 28, 36, 35, 35, 12.

n = 6
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 25. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 531,3 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 25x = 531,3
P =
3.Xác suấtTrung bình
đỏ: 5xanh dương: 4

Một túi chứa 5 quả bóng đỏ và 4 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

5 / 4
P =
4.Xác suấtKhó
n = 9, p = 0,25: P(X = 4) = ?k0123456789

Một bài kiểm tra có 9 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,25, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 9p = 0,25k = 4
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
−3−2−10123zvùng tô bóng bên phải z = 0,6915

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,6915. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,6915
z =
6.Phân phối chuẩnKhó
380420460500540580620htrên 20%

tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 20% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 8, s = 12,5LUx̄ = 45,5E = ?90%

Một mẫu 8 phần tử có trung bình 45,5 và độ lệch chuẩn s = 12,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 8x̄ = 45,5s = 12,590%t(7) = 1,895
E =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 29. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?

σ = 29E = 595%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,01102,011

Một mẫu 49 sinh viên có điểm trung bình 123,4 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,4s = 20n = 49
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −1,64501,645

Một mẫu 49 phép đo có trung bình 97,7. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 97,7σ = 20n = 4990%
U =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy129337543753959xy530405060

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy136341547754954xy54050x = 6

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (6, 52) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(6, 52)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 9,607

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 183/6 = 30,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 6,5² + (−2,5)² + 5,5² + 4,5² + 4,5² + (−18,5)² = 461,5

Độ lệch chuẩn

s = √(461,5/5) = 9,607

Đáp số

s = 9,607
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,1056

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = 1,25

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Đáp số

P = 0,1056
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,2778

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Đáp số

P = 0,2778
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,1168

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 4) = 126·0,254·0,755 = 126·0,003906·0,2373 = 0,1168

Đáp số

P = 0,1168
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = −0,5

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,3085 bên trong bảng và đọc ra z.

z = −0,50

Đáp số

z = −0,50
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 534 h

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,8

z từ bảng

z ≈ 0,84

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Đáp số

x = 534 h
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 8,375

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Sai số biên

E = 1,895·12,5/√8 = 8,375

Đáp số

E = 8,375
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 130

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,96·29/5)² = 129,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 130

Đáp số

n = 130
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,19

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Thống kê kiểm định

t = (123,4 − 120)/2,857 = 1,19

Đáp số

t = 1,19
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 102,4

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·20/√49 = 4,7

Giới hạn của khoảng

U = 97,7 + 4,7 = 102,4

Đáp số

U = 102,4
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9945

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 221/5 = 44,2

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 580,8

Hệ số xác định

r² = 152²/(40·580,8) = 0,9945

Đáp số

r² = 0,9945

Khoảng 99,45% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 3,15

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 232/5 = 46,4

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

Đường hồi quy

b = 98/40 = 2,45
a = 46,4 − 2,45·5 = 34,15
ŷ = 34,15 + 2,45·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 34,15 + 2,45·6 = 48,85

Phần dư

e = 52 − 48,85 = 3,15

Đáp số

e = 3,15

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1