Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 60, 54, 56, 27, 39.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 164.

μ = 170σ = 5x = 164

z =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.Xác suấtKhó

Một trò chơi tốn €2 mỗi lượt. Bạn thắng €4 với xác suất 0,1 và €100 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €2€4: p = 0,1€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Phân phối chuẩnTrung bình

khối lượng các túi có phân phối chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 5 g. Tỉ lệ nào nằm giữa 244,25 và 252,5 g? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 252,5

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 100 điện thoại, trung bình 118 h, độ lệch chuẩn đã biết 18 h. Mẫu 2: 50 điện thoại, trung bình 131,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 12 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 118 hσ₁ = 18 hn₂ = 50x̄₂ = 131,5 hσ₂ = 12 h99%

giới hạn dưới = h

8.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 5 ô, năng suất trung bình 36,5 kg, độ lệch chuẩn 3 kg. Nhóm ô 2: 7 ô, trung bình 31,5 kg, độ lệch chuẩn 3,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 36,5s₁ = 3n₂ = 7x̄₂ = 31,5s₂ = 3,595%t(10) = 2,228

giới hạn dưới = kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai dây chuyền sản xuất cùng một chi tiết. Dây chuyền 1: một mẫu 50 chi tiết có chiều dài trung bình 141,5 mm, và độ lệch chuẩn đã biết của dây chuyền là 5 mm. Dây chuyền 2: một mẫu 50 chi tiết có trung bình 138,7 mm, độ lệch chuẩn đã biết 10 mm. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (dây chuyền 1 trừ dây chuyền 2).

n₁ = 50x̄₁ = 141,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 50x̄₂ = 138,7 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5? Độ lệch chuẩn là 12. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 12E = 0,590%

n =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (5, 23) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(5, 23)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,81

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 236/5 = 47,2

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 12,8² + 6,8² + 8,8² + (−20,2)² + (−8,2)² = 762,8

Độ lệch chuẩn

s = √(762,8/4) = 13,81

Đáp số

s = 13,81

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −1,2

Chuẩn hóa

z = (164 − 170)/5 = −1,2

Đáp số

z = −1,2

3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,448

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,3 = 1,55

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,3 = 3,85

Phương sai

Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448

Đáp số

Var(X) = 1,448

4.Xác suất

Đáp số: E(G) = −0,6 €

Các kết quả ròng

G: 2 (p = 0,1), 98 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 2·0,1 + 98·0,01 − 2·0,89 = −0,6 €

Đáp số

E(G) = −0,6 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,5664

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,5) − Φ(−1,15) = 0,6915 − 0,1251 = 0,5664

Đáp số

P = 0,5664

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9633

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Đáp số

P = 0,9633

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −19,87 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 118 − 131,5 = −13,5

Sai số chuẩn

SE = √(18²/100 + 12²/50) = 2,474

Sai số biên

E = 2,576·2,474 = 6,373

Khoảng

−13,5 ± 6,373 → [−19,87, −7,127]

Đáp số

giới hạn dưới = −19,87 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 0,683 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (4·3² + 6·3,5²)/10 = 10,95

s_p = 3,309

Sai số biên

E = 2,228·3,309·√(1/5 + 1/7) = 4,317

Khoảng

5 ± 4,317 → [0,683, 9,317]

Đáp số

giới hạn dưới = 0,683 kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 1,771

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Sai số chuẩn của hiệu

SE = √(5²/50 + 10²/50) = √2,5 = 1,581

Thống kê kiểm định

z = (141,5 − 138,7)/1,581 = 1,771

Đáp số

z = 1,771

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1559

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,645·12/0,5)² = 1559

Làm tròn lên

n = 1559

Đáp số

n = 1559

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,8977

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 44,8

Hệ số tương quan

r = −19/√(10·44,8) = −0,8977

Đáp số

r = −0,8977

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 4,943

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 144/6 = 24

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

Đường hồi quy

b = 208/70 = 2,971

a = 24 − 2,971·7 = 3,2

ŷ = 3,2 + 2,971·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 3,2 + 2,971·5 = 18,06

Phần dư

e = 23 − 18,06 = 4,943

Đáp số

e = 4,943

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1