Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 15, 20, 35, 53, 52, 35, 26.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 66 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 15x = 66

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 5 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

5 / 7

P =

4.Xác suấtKhó

11 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,1, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 11p = 0,1

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 20,3 và 44,3 min? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 32σ = 6x₁ = 20,3x₂ = 44,3

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 85% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Huyết áp của 6 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 8 và độ lệch chuẩn 5,5. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho hiệu trung bình.

n = 6d̄ = 8s_d = 5,599%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 6 ô, năng suất trung bình 76 kg, độ lệch chuẩn 4,5 kg. Nhóm ô 2: 10 ô, trung bình 70,5 kg, độ lệch chuẩn 9,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 76s₁ = 4,5n₂ = 10x̄₂ = 70,5s₂ = 9,590%t(14) = 1,761

giới hạn dưới = kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 98,2 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,2s = 8n = 64

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ > 50 được thực hiện ở mức α = 0,10 với một mẫu 64; độ lệch chuẩn đã biết là 8. Trên thực tế trung bình là 52,3. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.

μ₀ = 50μ = 52,3σ = 8n = 64α = 0,10

1 − β = %

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 27Σy = 371Σx² = 139Σy² = 23401Σxy = 1757

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,76

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 236/7 = 33,71

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−18,71)² + (−13,71)² + 1,286² + 19,29² + 18,29² + 1,286² + (−7,714)² = 1307

Độ lệch chuẩn

s = √(1307/6) = 14,76

Đáp số

s = 14,76

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,6554

Chuẩn hóa

z = 0,4

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Đáp số

P = 0,6554

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,1515

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Đáp số

P = 0,1515

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,6974

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Cộng lại

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Đáp số

P = 0,6974

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9542

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Diện tích ở giữa

P = Φ(2,05) − Φ(−1,95) = 0,9798 − 0,02559 = 0,9542

Đáp số

P = 0,9542

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 458 h

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,15

z từ bảng

z ≈ −1,04

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Đáp số

x = 458 h

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 9,053 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 5, t = 4,032

Sai số biên

E = 4,032·5,5/√6 = 9,053

Đáp số

E = 9,053 mmHg

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −1,846 kg

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (5·4,5² + 9·9,5²)/14 = 65,25

s_p = 8,078

Sai số biên

E = 1,761·8,078·√(1/6 + 1/10) = 7,346

Khoảng

5,5 ± 7,346 → [−1,846, 12,85]

Đáp số

giới hạn dưới = −1,846 kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,8

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Thống kê kiểm định

t = (98,2 − 100)/1 = −1,8

Đáp số

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: 1 − β = 84,57 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 50 + 1,282·1 = 51,28

z theo trung bình thật

z = (51,28 − 52,3)/1 = −1,018

Công suất

lực của kiểm định = P(Z > −1,018) = 84,57%

1 − β = 84,57%

Đáp số

1 − β = 84,57%

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9744

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 1757 − 27·371/6 = 87,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 23401 − 371²/6 = 460,8

Hệ số tương quan

r = 87,5/√(17,5·460,8) = 0,9744

Đáp số

r = 0,9744

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 3,625

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 110/5 = 22

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

Đường hồi quy

b = −32/10 = −3,2

a = 22 − (−3,2)·3 = 31,6

ŷ = 31,6 − 3,2·x

Giải tìm x

x = (20 − 31,6)/(−3,2) = 3,625

Đáp số

x = 3,625

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1