Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
28303234363840

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 31, 28, 41, 38, 30.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 65.

μ = 60σ = 5x = 65
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)10,1520,0530,3540,250,25μ = 3,35

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,05, 0,35, 0,2, 0,25
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
€p(x)−10,8940,190,01

Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €5 với xác suất 0,1 và €10 với xác suất 0,01; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.

tiền cược = €1€5: p = 0,1€10: p = 0,01
E(G) = €
5.Phân phối chuẩnTrung bình
76,75118P = ?

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 76,75 và 118 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 118
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
157164171178185192199cmtrên 15%

chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Kéo ngưỡng sao cho 15% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 21, s = 18LUx̄ = 105,5E = ?90%

Một mẫu 21 phần tử có trung bình 105,5 và độ lệch chuẩn s = 18. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 21x̄ = 105,5s = 1890%t(20) = 1,725
E =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,599%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 4. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 4E = 0,599%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,01102,011

Một mẫu 49 sinh viên có điểm trung bình 201,9 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,9s = 8n = 49
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
μ₀x̄c

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 50 với H₁: μ > 50 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 5. Trên thực tế trung bình là 53,6. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.

μ₀ = 50μ = 53,6σ = 5n = 25α = 0,01
1 − β = %
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy15651877211022411827127xy1520256080100120

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy127223320419516611xy24610152025x = 5,5

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (5,5, 10) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 10)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 5,595

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 168/5 = 33,6

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−2,6)² + (−5,6)² + 7,4² + 4,4² + (−3,6)² = 125,2

Độ lệch chuẩn

s = √(125,2/4) = 5,595

Đáp số

s = 5,595
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (65 − 60)/5 = 1

Đáp số

z = 1
3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,728

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,2 + 5·0,25 = 3,35

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,2 + 25·0,25 = 12,95

Phương sai

Var(X) = 12,95 − 3,35² = 1,728

Đáp số

Var(X) = 1,728
4.Xác suất

Đáp số: E(G) = −0,4 €

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Các kết quả ròng

G: 4 (p = 0,1), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,89)

Giá trị kỳ vọng

E(G) = 4·0,1 + 9·0,01 − 1·0,89 = −0,4 €

Đáp số

E(G) = −0,4 €

Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8244

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,2) − Φ(−1,55) = 0,8849 − 0,06057 = 0,8244

Đáp số

P = 0,8244
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 185,3 cm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,85

z từ bảng

z ≈ 1,04

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

Đáp số

x = 185,3 cm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 6,776

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Sai số biên

E = 1,725·18/√21 = 6,776

Đáp số

E = 6,776
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 425

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·4/0,5)² = 424,7

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 425

Đáp số

n = 425
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,663

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Thống kê kiểm định

t = (201,9 − 200)/1,143 = 1,663

Đáp số

t = 1,663
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: 1 − β = 89,87 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 5/√25 = 1
x̄c = 50 + 2,326·1 = 52,33

z theo trung bình thật

z = (52,33 − 53,6)/1 = −1,274

Công suất

lực của kiểm định = P(Z > −1,274) = 89,87%
1 − β = 89,87%

Đáp số

1 − β = 89,87%
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9884

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 489/5 = 97,8

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 495
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2787

Hệ số tương quan

r = 495/√(90·2787) = 0,9884

Đáp số

r = 0,9884
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −3,505

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 116/6 = 19,33

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51

Đường hồi quy

b = −51/17,5 = −2,914
a = 19,33 − (−2,914)·3,5 = 29,53
ŷ = 29,53 − 2,914·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 29,53 + (−2,914)·5,5 = 13,5

Phần dư

e = 10 − 13,5 = −3,505

Đáp số

e = −3,505

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1