Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 38, 22, 46, 45, 30, 14.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 80 là bao nhiêu?

μ = 50σ = 20x = 80

P =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 6 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

6 / 7

P =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 0,5X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,35, 0,2Y = 0,5X + 4

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,7699. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,7699

z =

6.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Kéo ngưỡng sao cho 70% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 65 điểmσ = 10 điểm70%

x = điểm

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 10 phần tử có trung bình 63,5 và độ lệch chuẩn s = 5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 10x̄ = 63,5s = 599%t(9) = 3,25

E =

8.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 11 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 10,6 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 10, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 3,247 và 2,5% nằm trên 20,483.

n = 11s = 10,6 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 95,6 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 95,6s = 8n = 16

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 25 phép đo có trung bình 70,2. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 70,2σ = 15n = 2595%

L =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 120Σy = 580Σx² = 2470Σy² = 57876Σxy = 11950

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (11, 34) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(11, 34)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 12,86

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 195/6 = 32,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 5,5² + (−10,5)² + 13,5² + 12,5² + (−2,5)² + (−18,5)² = 827,5

Độ lệch chuẩn

s = √(827,5/5) = 12,86

Đáp số

s = 12,86

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,06681

Chuẩn hóa

z = 1,5

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Đáp số

P = 0,06681

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,1923

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Đáp số

P = 0,1923

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 0,9097

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 3,3, Var(X) = 3,31, σ_X = 1,819

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |0,5|·1,819 = 0,9097

Đáp số

σ_Y = 0,9097

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 0,5·3,3 + 4 = 5,65.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,2

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,7699)/2 = 0,8849

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,8849 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,20

Đáp số

z = 1,20

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 59,8 điểm

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,3

z từ bảng

z ≈ −0,52

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 65 − 0,52·10 = 59,8 điểm

Đáp số

x = 59,8 điểm

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 5,139

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Sai số biên

E = 3,25·5/√10 = 5,139

Đáp số

E = 5,139

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 18,6 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 10·10,6² = 1124

Các giới hạn cho σ²

1124/20,483 = 54,86

1124/3,247 = 346

Giới hạn cho σ

σ = √346 = 18,6 µm

Đáp số

σ = 18,6 µm

Khoảng 95% cho σ: [7,406, 18,6] µm.

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Thống kê kiểm định

t = (95,6 − 100)/2 = −2,2

Đáp số

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 64,32

Sai số biên

E = 1,96·15/√25 = 5,88

Giới hạn của khoảng

L = 70,2 − 5,88 = 64,32

Đáp số

L = 64,32

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9835

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 11950 − 120·580/6 = 350

S_xx = 2470 − 120²/6 = 70

S_yy = 57876 − 580²/6 = 1809

Hệ số tương quan

r = 350/√(70·1809) = 0,9835

Đáp số

r = 0,9835

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 3,257

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 120/6 = 20

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Đường hồi quy

b = 188/70 = 2,686

a = 20 − 2,686·7 = 1,2

ŷ = 1,2 + 2,686·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 1,2 + 2,686·11 = 30,74

Phần dư

e = 34 − 30,74 = 3,257

Đáp số

e = 3,257

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1