Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 28, 42, 14, 15, 25, 51.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 57,5 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 5x = 57,5

P =

3.Xác suấtTrung bình

Gieo một con xúc xắc cân đối 6 lần. Xác suất P để được ít nhất một lần ra mặt sáu là bao nhiêu?

n = 6

P =

4.Xác suấtKhó

9 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 9p = 0,6

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,9306. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,9306

z =

6.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 80% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 80).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 25 phần tử có trung bình 19,5 và độ lệch chuẩn s = 6. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 25x̄ = 19,5s = 695%t(24) = 2,064

E =

8.Khoảng tin cậyKhó

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 6 ô, năng suất trung bình 57 kg, độ lệch chuẩn 3,5 kg. Nhóm ô 2: 8 ô, trung bình 69 kg, độ lệch chuẩn 9,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 57s₁ = 3,5n₂ = 8x̄₂ = 69s₂ = 9,599%t(12) = 3,055

giới hạn trên = kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 102 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102s = 12n = 100

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 99,5. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 99,5σ = 10n = 6490%

U =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5

r² =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 63) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 63)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,77

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 175/6 = 29,17

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−1,167)² + 12,83² + (−15,17)² + (−14,17)² + (−4,167)² + 21,83² = 1091

Độ lệch chuẩn

s = √(1091/5) = 14,77

Đáp số

s = 14,77

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,6915

Chuẩn hóa

z = −0,5

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Đáp số

P = 0,6915

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,6651

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Biến cố bù

P(không có mặt sáu) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Đáp số

P = 0,6651

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,003801

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,4⁹ = 0,0002621

P(X = 1) = 9·0,6·0,4⁸ = 0,003539

Cộng lại

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

Đáp số

P = 0,003801

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = −1,48

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,9306 = 0,0694

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,0694 bên trong bảng và đọc ra z.

z = −1,48

Đáp số

z = −1,48

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 183,9 cm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Quay lại x

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Đáp số

x = 183,89 cm

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 2,477

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Sai số biên

E = 2,064·6/√25 = 2,477

Đáp số

E = 2,477

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 0,5381 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Độ lệch chuẩn gộp

s_p² = (5·3,5² + 7·9,5²)/12 = 57,75

s_p = 7,599

Sai số biên

E = 3,055·7,599·√(1/6 + 1/8) = 12,54

Khoảng

−12 ± 12,54 → [−24,54, 0,5381]

Đáp số

giới hạn trên = 0,5381 kg

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,667

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Thống kê kiểm định

t = (102 − 100)/1,2 = 1,667

Đáp số

t = 1,667

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 101,6

Sai số biên

E = 1,645·10/√64 = 2,056

Giới hạn của khoảng

U = 99,5 + 2,056 = 101,6

Đáp số

U = 101,6

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,8865

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 249/5 = 49,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 584,8

Hệ số xác định

r² = 144²/(40·584,8) = 0,8865

Đáp số

r² = 0,8865

Khoảng 88,65% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 3,333

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 358/6 = 59,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

Đường hồi quy

b = 56/17,5 = 3,2

a = 59,67 − 3,2·3,5 = 48,47

ŷ = 48,47 + 3,2·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 48,47 + 3,2·3,5 = 59,67

Phần dư

e = 63 − 59,67 = 3,333

Đáp số

e = 3,333

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1