Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
1520253035404550

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 36, 12, 22, 52, 51.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 63,6 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 8x = 63,6
P =
3.Xác suấtTrung bình
đỏ: 4xanh dương: 7

Một túi chứa 4 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

4 / 7
P =
4.Xác suấtKhó
n = 12, p = 0,3: P(X = 4) = ?k0123456789101112

Một bài kiểm tra có 12 câu trắc nghiệm. Một học sinh đoán mò được mỗi câu đúng với xác suất 0,3, độc lập với nhau. Xác suất P để có đúng 4 câu trả lời đúng là bao nhiêu?

n = 12p = 0,3k = 4
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
2942,8P = ?

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 29 và 42,8 min? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 32σ = 6x1 = 29x2 = 42,8
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 100x = ?80%

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 80% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 80).

μ = 100σ = 15P = 80%
x = điểm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 11, sd​ = 5,40L = ?Ud̄ = 7,4E90%

Huyết áp của 11 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 7,4 và độ lệch chuẩn 5,4. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho hiệu trung bình.

n = 11d̄ = 7,4sd = 5,490%t(10) = 1,812
giới hạn dưới = mmHg
8.Khoảng tin cậyKhó
n = 21σ = ?Us = 8,395%

Đường kính của 21 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 8,3 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 20, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 9,591 và 2,5% nằm trên 34,17.

n = 21s = 8,3 µmχ² = 9,591, 34,17
σ = µm
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,98401,984

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 120,8 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,8s = 5n = 100
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Cỡ mẫu phải lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3? Độ lệch chuẩn là 20. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

σ = 20E = 395%
n =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy2641662083010341241xy5102040

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy14651681188720952211624127xy1520256080100120x = 19

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 19.

n = 6x = 19
ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 17,63

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 173/5 = 34,6

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 1,4² + (−22,6)² + (−12,6)² + 17,4² + 16,4² = 1243

Độ lệch chuẩn

s = √(1243/4) = 17,63

Đáp số

s = 17,63
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,2119

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −0,8

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119

Đáp số

P = 0,2119
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,1091

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091

Đáp số

P = 0,1091
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,2311

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Công thức nhị thức

P(X = 4) = 495·0,34·0,78 = 495·0,0081·0,05765 = 0,2311

Đáp số

P = 0,2311
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6555

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5
z₂ = (42,8 − 32)/6 = 1,8

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Đáp số

P = 0,6555
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 112,6 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Quay lại x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 điểm

Đáp số

x = 112,62 điểm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 4,45 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Giá trị tới hạn

df = 10, t = 1,812

Sai số biên

E = 1,812·5,4/√11 = 2,95

Khoảng

7,4 ± 2,95 → [4,45, 10,35]

Đáp số

giới hạn dưới = 4,45 mmHg
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 6,35 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 20·8,3² = 1378

Các giới hạn cho σ²

1378/34,17 = 40,32
1378/9,591 = 143,7

Giới hạn cho σ

σ = √40,32 = 6,35 µm

Đáp số

σ = 6,35 µm

Khoảng 95% cho σ: [6,35, 11,99] µm.

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,6

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Thống kê kiểm định

t = (120,8 − 120)/0,5 = 1,6

Đáp số

t = 1,6
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 171

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Giải tìm n

n = (1,96·20/3)² = 170,7

Làm tròn lên

n = 171

Đáp số

n = 171
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9861

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 147/6 = 24,5

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239
Syy = Σ(y − ȳ)² = 827,5

Hệ số xác định

r² = 239²/(70·827,5) = 0,9861

Đáp số

r² = 0,9861

Khoảng 98,61% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 95,17

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 571/6 = 95,17

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423

Đường hồi quy

b = 423/70 = 6,043
a = 95,17 − 6,043·19 = −19,65
ŷ = −19,65 + 6,043·x

Dự đoán

ŷ = −19,65 + 6,043·19 = 95,17

Đáp số

ŷ = 95,17

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1