Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 28, 26, 30, 57, 52, 33.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 100. Tìm điểm z z của điểm số 300.

μ = 500σ = 100x = 300

z =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,1, 0,3, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.Xác suấtKhó

10 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,7, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 10p = 0,7

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 422 và 574 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 574

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 phần tử có trung bình 94,5 và độ lệch chuẩn s = 19. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 16x̄ = 94,5s = 1995%t(15) = 2,131

giới hạn trên =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 12E = 1,590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 16 học sinh, điểm trung bình 42, độ lệch chuẩn 7,5. Nhóm 2: 10 học sinh, điểm trung bình 45,2, độ lệch chuẩn 4,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).

n₁ = 16x̄₁ = 42s₁ = 7,5n₂ = 10x̄₂ = 45,2s₂ = 4,5

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 44 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 125 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 125n₂ = 250

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 30Σy = 74Σx² = 220Σy² = 1338Σxy = 540

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 10) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 10)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,34

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 226/6 = 37,67

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−9,667)² + (−11,67)² + (−7,667)² + 19,33² + 14,33² + (−4,667)² = 889,3

Độ lệch chuẩn

s = √(889,3/5) = 13,34

Đáp số

s = 13,34

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −2

Chuẩn hóa

z = (300 − 500)/100 = −2

Đáp số

z = −2

3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 2,04

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,1 + 5·0,35 = 3,4

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,1 + 25·0,35 = 13,6

Phương sai

Var(X) = 13,6 − 3,4² = 2,04

Đáp số

Var(X) = 2,04

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,0001437

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,3¹⁰ = 5,905 × 10⁻⁶

P(X = 1) = 10·0,7·0,3⁹ = 0,0001378

Cộng lại

P = 5,905 × 10⁻⁶ + 0,0001378 = 0,0001437

Đáp số

P = 0,0001437

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9423

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,85) − Φ(−1,95) = 0,9678 − 0,02559 = 0,9423

Đáp số

P = 0,9423

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 104,6

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Sai số biên

E = 2,131·19/√16 = 10,12

Khoảng

94,5 ± 10,12 → [84,38, 104,6]

Đáp số

giới hạn trên = 104,6

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 174

Giải tìm n

n = (1,645·12/1,5)² = 173,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 174

Đáp số

n = 174

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,214

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Phương sai gộp

s_p² = (15·7,5² + 9·4,5²)/24 = 42,75

s_p = 6,538

Sai số chuẩn

SE = 6,538·√(1/16 + 1/10) = 2,636

Thống kê kiểm định

t = (42 − 45,2)/2,636 = −1,214

Đáp số

t = −1,214

Với df = 24, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,064; |t| nhỏ hơn, nên H₀ không bị bác bỏ.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 0,7787

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 44/80 = 0,55

p̂₂ = 125/250 = 0,5

p̂ = 169/330 = 0,5121

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,5121·0,4879·(1/80 + 1/250)) = 0,06421

Thống kê kiểm định

z = (0,55 − 0,5)/0,06421 = 0,7787

Đáp số

z = 0,7787

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9741

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 540 − 30·74/5 = 96

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1338 − 74²/5 = 242,8

Hệ số tương quan

r = 96/√(40·242,8) = 0,9741

Đáp số

r = 0,9741

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −4,7

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

Đường hồi quy

b = −30/10 = −3

a = 19,2 − (−3)·3 = 28,2

ŷ = 28,2 − 3·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 28,2 + (−3)·4,5 = 14,7

Phần dư

e = 10 − 14,7 = −4,7

Đáp số

e = −4,7

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1