Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
121416182022

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 11, 20, 19, 13, 22.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 104,8 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 12x = 104,8
P =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,2520,1540,2560,35μ = 3,4

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35
σ =
4.Xác suấtKhó
xp(x)100,35200,1300,3400,25μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = −2X + 1. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,3, 0,25Y = −2X + 1
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
−3−2−10123zvùng tô bóng giữa −z và z = 0,8473

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,8473. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,8473
z =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 178x = ?97,5%

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 178σ = 7P = 97,5%
x = cm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 7, s = 3LU = ?x̄ = 48,5E90%

Một mẫu 7 phần tử có trung bình 48,5 và độ lệch chuẩn s = 3. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 7x̄ = 48,5s = 390%t(6) = 1,943
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 40. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 40E = 499%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,99801,998

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 71,9 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,9s = 8n = 64
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −2,57602,576

Một mẫu 16 phép đo có trung bình 78,3. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 12. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 78,3σ = 12n = 1699%
L =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy125221320420519616xy2462025

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy250353465564675xy246506070x = 2,5

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 4,743

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 85/5 = 17

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 3² + 2² + (−4)² + 5² = 90

Độ lệch chuẩn

s = √(90/4) = 4,743

Đáp số

s = 4,743
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,6554

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = 0,4

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Đáp số

P = 0,6554
3.Xác suất

Đáp số: σ = 2,375

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,4

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,2

Phương sai

Var(X) = 17,2 − 3,4² = 5,64
σ = √5,64 = 2,375

Đáp số

σ = 2,375
4.Xác suất

Đáp số: σY = 24,06

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 24,5, Var(X) = 144,8, σX = 12,03

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |−2|·12,03 = 24,06

Đáp số

σY = 24,06

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = −2·24,5 + 1 = −48.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,43

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,8473)/2 = 0,9236

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,9236 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,43

Đáp số

z = 1,43
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 191,7 cm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Đáp số

x = 191,72 cm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 50,7

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Sai số biên

E = 1,943·3/√7 = 2,203

Khoảng

48,5 ± 2,203 → [46,3, 50,7]

Đáp số

giới hạn trên = 50,7
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 664

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·40/4)² = 663,6

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 664

Đáp số

n = 664
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,1

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Thống kê kiểm định

t = (71,9 − 75)/1 = −3,1

Đáp số

t = −3,1
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 70,57

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 2,576·12/√16 = 7,728

Giới hạn của khoảng

L = 78,3 − 7,728 = 70,57

Đáp số

L = 70,57
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,8675

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 121/6 = 20,17

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 42,83

Hệ số xác định

r² = −25,5²/(17,5·42,83) = 0,8675

Đáp số

r² = 0,8675

Khoảng 86,75% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 52,25

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 307/5 = 61,4

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

Đường hồi quy

b = 61/10 = 6,1
a = 61,4 − 6,1·4 = 37
ŷ = 37 + 6,1·x

Dự đoán

ŷ = 37 + 6,1·2,5 = 52,25

Đáp số

ŷ = 52,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1