Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
3234363840424446485052

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 32, 52, 34, 33, 47, 52, 41.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 20. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 82 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 20x = 82
P =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)100,3200,35300,1400,25μ = 23

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
n = 7, p = 0,5: P(X ≤ 1) = ?k01234567

7 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 7p = 0,5
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
32 min30,8 minX + Y?

X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 30,8 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
0,03 mm0D − d?

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,03 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 6, s = 3L = ?Ux̄ = 24E99%

Một mẫu 6 phần tử có trung bình 24 và độ lệch chuẩn s = 3. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 6x̄ = 24s = 399%t(5) = 4,032
giới hạn dưới =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,595%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?

σ = 10E = 1,595%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,98401,984

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 47,84 và độ lệch chuẩn mẫu 12. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,84s = 12n = 100
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
−1,961,96z = ?

Trong một thử nghiệm, 45 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 12 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 300x₂ = 12n₂ = 200
z =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy21242162983610441249xy5102040

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy2124176248351040xy51010203040x = 3

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 3.

n = 5x = 3
ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 8,848

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 291/7 = 41,57

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−9,571)² + 10,43² + (−7,571)² + (−8,571)² + 5,429² + 10,43² + (−0,5714)² = 469,7

Độ lệch chuẩn

s = √(469,7/6) = 8,848

Đáp số

s = 8,848
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,7257

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = 0,6

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Đáp số

P = 0,7257
3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 131

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,1 + 40·0,25 = 23

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,1 + 1600·0,25 = 660

Phương sai

Var(X) = 660 − 23² = 131

Đáp số

Var(X) = 131
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,0625

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469

Cộng lại

P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625

Đáp số

P = 0,0625
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6844

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Chuẩn hóa

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

Đuôi trên

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

Đáp số

P = 0,6844
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8554

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Đáp số

P = 0,8554
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 19,06

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Sai số biên

E = 4,032·3/√6 = 4,938

Khoảng

24 ± 4,938 → [19,06, 28,94]

Đáp số

giới hạn dưới = 19,06
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 171

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,96·10/1,5)² = 170,7

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 171

Đáp số

n = 171
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,8

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Thống kê kiểm định

t = (47,84 − 50)/1,2 = −1,8

Đáp số

t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 3,102

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 45/300 = 0,15
p̂₂ = 12/200 = 0,06
p̂ = 57/500 = 0,114

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,114·0,886·(1/300 + 1/200)) = 0,02901

Thống kê kiểm định

z = (0,15 − 0,06)/0,02901 = 3,102

Đáp số

z = 3,102

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9942

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 191/6 = 31,83

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261
Syy = Σ(y − ȳ)² = 978,8

Hệ số xác định

r² = 261²/(70·978,8) = 0,9942

Đáp số

r² = 0,9942

Khoảng 99,42% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 14,5

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 128/5 = 25,6

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148

Đường hồi quy

b = 148/40 = 3,7
a = 25,6 − 3,7·6 = 3,4
ŷ = 3,4 + 3,7·x

Dự đoán

ŷ = 3,4 + 3,7·3 = 14,5

Đáp số

ŷ = 14,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1