Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
384042444648505254

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 42, 44, 37, 55, 51, 42, 45.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 50 và độ lệch chuẩn 8. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 42 là bao nhiêu?

μ = 50σ = 8x = 42
P =
3.Xác suấtTrung bình
đỏ: 8xanh dương: 4

Một túi chứa 8 quả bóng đỏ và 4 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

8 / 4
P =
4.Xác suấtKhó
n = 5, p = 0,6: P(X ≤ 1) = ?k012345

5 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,6, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 5p = 0,6
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
3238P = ?

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 32 và 38 min? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 32σ = 6x1 = 32x2 = 38
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
μ = 178x = ?75%

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 75% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 75).

μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 12, s = 16L = ?Ux̄ = 41,5E90%

Một mẫu 12 phần tử có trung bình 41,5 và độ lệch chuẩn s = 16. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 12x̄ = 41,5s = 1690%t(11) = 1,796
giới hạn dưới =
8.Khoảng tin cậyKhó
μ₁ − μ₂, t(14) = 2,1450L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Hai loại phân bón được thử nghiệm. Nhóm ô 1: 11 ô, năng suất trung bình 71,5 kg, độ lệch chuẩn 9,5 kg. Nhóm ô 2: 5 ô, trung bình 71 kg, độ lệch chuẩn 1,5 kg. Giả sử các phương sai bằng nhau (t gộp, df = n₁ + n₂ − 2). Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 71,5s₁ = 9,5n₂ = 5x̄₂ = 71s₂ = 1,595%t(14) = 2,145
giới hạn dưới = kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,9901,99

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 75,78 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,78s = 10n = 81
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −1,64501,645

Một mẫu 25 phép đo có trung bình 101. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

x̄ = 101σ = 10n = 2590%
L =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy127223320417518xy242025

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy125223318419517xy242025ŷ = 21

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 21?

n = 5ŷ = 21
x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 6,04

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 316/7 = 45,14

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−3,143)² + (−1,143)² + (−8,143)² + 9,857² + 5,857² + (−3,143)² + (−0,1429)² = 218,9

Độ lệch chuẩn

s = √(218,9/6) = 6,04

Đáp số

s = 6,04
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8413

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = −1

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413
3.Xác suất

Đáp số: P = 0,4242

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 8/12 · 7/11 = 56/132 = 0,4242

Đáp số

P = 0,4242
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,08704

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,45 = 0,01024
P(X = 1) = 5·0,6·0,44 = 0,0768

Cộng lại

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Đáp số

P = 0,08704
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,3413

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (32 − 32)/6 = 0
z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Diện tích ở giữa

P = Φ(1) − Φ(0) = 0,8413 − 0,5 = 0,3413

Đáp số

P = 0,3413
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 182,7 cm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Quay lại x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Đáp số

x = 182,72 cm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 33,2

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Sai số biên

E = 1,796·16/√12 = 8,295

Khoảng

41,5 ± 8,295 → [33,2, 49,8]

Đáp số

giới hạn dưới = 33,2
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = −8,835 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Độ lệch chuẩn gộp

sp² = (10·9,5² + 4·1,5²)/14 = 65,11
sp = 8,069

Sai số biên

E = 2,145·8,069·√(1/11 + 1/5) = 9,335

Khoảng

0,5 ± 9,335 → [−8,835, 9,835]

Đáp số

giới hạn dưới = −8,835 kg
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 0,702

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Thống kê kiểm định

t = (75,78 − 75)/1,111 = 0,702

Đáp số

t = 0,702
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 97,71

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 1,645·10/√25 = 3,29

Giới hạn của khoảng

L = 101 − 3,29 = 97,71

Đáp số

L = 97,71
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = −0,9342

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Syy = Σ(y − ȳ)² = 66

Hệ số tương quan

r = −24/√(10·66) = −0,9342

Đáp số

r = −0,9342
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 2,7

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20,4

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Đường hồi quy

b = −20/10 = −2
a = 20,4 − (−2)·3 = 26,4
ŷ = 26,4 − 2·x

Giải tìm x

x = (21 − 26,4)/(−2) = 2,7

Đáp số

x = 2,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1