Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
1520253035

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 37, 16, 29, 28, 13, 17, 26.

n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 106,3 là bao nhiêu?

μ = 100σ = 5x = 106,3
P =
3.Xác suấtTrung bình
n = 11k = 2N = ?

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 2 người từ một nhóm 11 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 11k = 2
N =
4.Xác suấtKhó
n = 12, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

12 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,1, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 12p = 0,1
P =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
82130P = ?

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 82 và 130 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 130
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
0,04 mm0D − d?

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,04 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 10, s = 1LU = ?x̄ = 52E95%

Một mẫu 10 phần tử có trung bình 52 và độ lệch chuẩn s = 1. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 10x̄ = 52s = 195%t(9) = 2,262
giới hạn trên =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 3?

σ = 20E = 390%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −1,98401,984

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 73,9 và độ lệch chuẩn mẫu 5. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,9s = 5n = 100
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
z −2,57602,576

Một mẫu 49 phép đo có trung bình 116,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 116,8σ = 15n = 4999%
L =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy164819482265257628913198xy152025306080100

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 141Σy = 426Σx² = 3471Σy² = 32494Σxy = 10596
r =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy160262374473580687xy24660708090ŷ = 62

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 62?

n = 6ŷ = 62
x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 8,635

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 166/7 = 23,71

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 13,29² + (−7,714)² + 5,286² + 4,286² + (−10,71)² + (−6,714)² + 2,286² = 447,4

Độ lệch chuẩn

s = √(447,4/6) = 8,635

Đáp số

s = 8,635
2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,8944

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = 1,25

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944

Đáp số

P = 0,8944
3.Xác suất

Đáp số: N = 55

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Đáp số

N = 55
4.Xác suất

Đáp số: P = 0,659

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,912 = 0,2824
P(X = 1) = 12·0,1·0,911 = 0,3766

Cộng lại

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Đáp số

P = 0,659
5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8622

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2
z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Diện tích ở giữa

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Đáp số

P = 0,8622
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,9706

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89

Xác suất

P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706

Đáp số

P = 0,9706
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 52,72

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Sai số biên

E = 2,262·1/√10 = 0,7153

Khoảng

52 ± 0,7153 → [51,28, 52,72]

Đáp số

giới hạn trên = 52,72
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 121

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·20/3)² = 120,3

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 121

Đáp số

n = 121
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,2

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Thống kê kiểm định

t = (73,9 − 75)/0,5 = −2,2

Đáp số

t = −2,2
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| > 1,984, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: L = 111,3

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 2,576·15/√49 = 5,52

Giới hạn của khoảng

L = 116,8 − 5,52 = 111,3

Đáp số

L = 111,3
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9831

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 10596 − 141·426/6 = 585
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 32494 − 426²/6 = 2248

Hệ số tương quan

r = 585/√(157,5·2248) = 0,9831

Đáp số

r = 0,9831
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 1,514

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 436/6 = 72,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

Đường hồi quy

b = 94/17,5 = 5,371
a = 72,67 − 5,371·3,5 = 53,87
ŷ = 53,87 + 5,371·x

Giải tìm x

x = (62 − 53,87)/5,371 = 1,514

Đáp số

x = 1,514

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1