Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 51, 10, 39, 45, 27, 21, 20.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 75. Tìm điểm z z của điểm số 530.

μ = 500σ = 75x = 530

z =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.Xác suấtKhó

11 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,2, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 11p = 0,2

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng giữa −z và z dưới đường cong chuẩn tắc bằng 0,7109. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,7109

z =

6.Phân phối chuẩnKhó

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tìm giá trị x mà 97,5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 97,5).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = điểm

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 13 phần tử có trung bình 101,5 và độ lệch chuẩn s = 19. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 13x̄ = 101,5s = 1990%t(12) = 1,782

giới hạn trên =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 26. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 26E = 0,590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 11 học sinh, điểm trung bình 119,5, độ lệch chuẩn 7. Nhóm 2: 5 học sinh, điểm trung bình 134,1, độ lệch chuẩn 12. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).

n₁ = 11x̄₁ = 119,5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 134,1s₂ = 12

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 42 trong 120 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 100 trong 200 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 100n₂ = 200

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 5

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (23,5, 64) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(23,5, 64)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 14,92

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 213/7 = 30,43

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 20,57² + (−20,43)² + 8,571² + 14,57² + (−3,429)² + (−9,429)² + (−10,43)² = 1336

Độ lệch chuẩn

s = √(1336/6) = 14,92

Đáp số

s = 14,92

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 0,4

Chuẩn hóa

z = (530 − 500)/75 = 0,4

Đáp số

z = 0,4

3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 0,7

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Phương sai

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Đáp số

Var(X) = 0,7

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,3221

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,8¹¹ = 0,0859

P(X = 1) = 11·0,2·0,8¹⁰ = 0,2362

Cộng lại

P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221

Đáp số

P = 0,3221

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = 1,06

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = (1 + 0,7109)/2 = 0,8554

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,8554 bên trong bảng và đọc ra z.

z = 1,06

Đáp số

z = 1,06

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 84,6 điểm

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Quay lại x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 điểm

Đáp số

x = 84,6 điểm

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 110,9

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Sai số biên

E = 1,782·19/√13 = 9,391

Khoảng

101,5 ± 9,391 → [92,11, 110,9]

Đáp số

giới hạn trên = 110,9

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 7318

Giải tìm n

n = (1,645·26/0,5)² = 7317

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 7318

Đáp số

n = 7318

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −3,102

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Phương sai gộp

s_p² = (10·7² + 4·12²)/14 = 76,14

s_p = 8,726

Sai số chuẩn

SE = 8,726·√(1/11 + 1/5) = 4,706

Thống kê kiểm định

t = (119,5 − 134,1)/4,706 = −3,102

Đáp số

t = −3,102

Với df = 14, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,145; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −2,615

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 42/120 = 0,35

p̂₂ = 100/200 = 0,5

p̂ = 142/320 = 0,4437

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,4437·0,5563·(1/120 + 1/200)) = 0,05737

Thống kê kiểm định

z = (0,35 − 0,5)/0,05737 = −2,615

Đáp số

z = −2,615

|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9962

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 419/5 = 83,8

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1919

Hệ số tương quan

r = 414/√(90·1919) = 0,9962

Đáp số

r = 0,9962

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −5

Các giá trị trung bình

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 318/5 = 63,6

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324

Đường hồi quy

b = 324/90 = 3,6

a = 63,6 − 3,6·22 = −15,6

ŷ = −15,6 + 3,6·x

Giá trị dự đoán

ŷ = −15,6 + 3,6·23,5 = 69

Phần dư

e = 64 − 69 = −5

Đáp số

e = −5

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1