描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
AP Statistics 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：51, 48, 58, 39, 24, 59, 31。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。求成绩 470 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 25x = 470
z =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 8
P =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 5X + 1。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.25, 0.1, 0.15, 0.35Y = 5X + 1
σY =
5.正态分布中等
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 769.7 g 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769.7 g
P =
6.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 69？
n = 6ŷ = 69
x =
9.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 112 h，已知标准差 5 h。型号 2：50 部手机，均值 127 h，已知标准差 9 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 40x̄₁ = 112 hσ₁ = 5 hn₂ = 50x̄₂ = 127 hσ₂ = 9 h90%
E = h
10.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 9.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 9.7 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
11.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：17 名学生，平均分 52.5，标准差 2.5。第 2 组：9 名学生，平均分 47.7，标准差 5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 17x̄₁ = 52.5s₁ = 2.5n₂ = 9x̄₂ = 47.7s₂ = 5
t =
12.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 84.2。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 84.2σ = 15n = 100α = 0.01
1 − β = %
13.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，中”的期望频数 E。
行合计 = 76列合计 = 44N = 155
E =
14.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2803 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.41
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 310/7 = 44.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6.714² + 3.714² + 13.71² + (−5.286)² + (−20.29)² + 14.71² + (−13.29)² = 1079
标准差
s = √(1079/6) = 13.41
答案
s = 13.41
2.描述统计
答案: z = −1.2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (470 − 500)/25 = −1.2
答案
z = −1.2
3.概率
答案: P = 0.7674
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答案
P = 0.7674
4.概率
答案: σY = 7.599
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.3, Var(X) = 2.31, σX = 1.52
线性变换
σY = |5|·1.52 = 7.599
答案
σY = 7.599
均值确实会改变：E(Y) = 5·3.3 + 1 = 17.5。
5.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
标准化
z = (769.7 − 750)/9.849 = 2
上尾
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275
答案
P = 0.02275
6.正态分布
答案: x = 255.2 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.85
由表得到的 z
z ≈ 1.04
回到原来的单位
x = 250 + 1.04·5 = 255.2 g
答案
x = 255.2 g
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9494
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 306/5 = 61.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94.8
决定系数
r² = 30²/(10·94.8) = 0.9494
答案
r² = 0.9494
y 的变异中约有 94.94% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 25.68
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 362/6 = 60.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429
回归直线
b = 429/157.5 = 2.724
a = 60.33 − 2.724·22.5 = −0.9524
ŷ = −0.9524 + 2.724·x
解出 x
x = (69 − (−0.9524))/2.724 = 25.68
答案
x = 25.68
9.置信区间
答案: E = 2.465 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 112 − 127 = −15
标准误
SE = √(5²/40 + 9²/50) = 1.498
误差范围
E = 1.645·1.498 = 2.465
答案
E = 2.465 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
10.置信区间
答案: σ = 7.102 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·9.7² = 1317
σ² 的限值
1317/26.119 = 50.43
1317/5.629 = 234
σ 的限值
σ = √50.43 = 7.102 µm
答案
σ = 7.102 µm
σ 的 95% 区间：[7.102, 15.3] µm。
11.假设检验与置信区间
答案: t = 3.293
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (16·2.5² + 8·5²)/24 = 12.5
sp = 3.536
标准误
SE = 3.536·√(1/17 + 1/9) = 1.457
检验统计量
t = (52.5 − 47.7)/1.457 = 3.293
答案
t = 3.293
df = 24 时，双侧 5% 的临界值为 2.064；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
12.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 68.23 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√100 = 1.5
x̄c = 80 + 2.326·1.5 = 83.49
真实均值下的 z
z = (83.49 − 84.2)/1.5 = −0.474
功率
功效 = P(Z > −0.474) = 68.23%
1 − β = 68.23%
答案
1 − β = 68.23%
13.卡方检验
答案: E = 21.57
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 76·44/155 = 21.57
答案
E = 21.57
14.卡方检验
答案: χ² = 19.53
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 60, 20
生产线 2: 75, 25
生产线 3: 75, 25
卡方统计量
χ² = (61 − 60)²/60 + (19 − 20)²/20 + (88 − 75)²/75 + (12 − 25)²/25 + (61 − 75)²/75 + (39 − 25)²/25
χ² = 19.53
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
19.53 > 9.210
答案
χ² = 19.53
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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