描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
AP Statistics 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：30, 48, 17, 19, 34。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。求成绩 44 的 z 分数 z。
μ = 50σ = 12x = 44
z =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 8
P =
4.概率困难
测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.6
P =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 837 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 837 kg
P =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 6x = 2.5
ŷ =
9.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 117，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 25x̄ = 117s = 13.595%t(24) = 2.064
E =
10.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 23E = 1.595%
n =
11.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 57 mm，该生产线的已知标准差为 11 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 64.2 mm，已知标准差为 8 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 30x̄₁ = 57 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 60x̄₂ = 64.2 mmσ₂ = 8 mm
z =
12.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 38 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 99 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 99n₂ = 300
z =
13.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
14.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.54
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 148/5 = 29.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 0.4² + 18.4² + (−12.6)² + (−10.6)² + 4.4² = 629.2
标准差
s = √(629.2/4) = 12.54
答案
s = 12.54
2.描述统计
答案: z = −0.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (44 − 50)/12 = −0.5
答案
z = −0.5
3.概率
答案: P = 0.7674
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)8 = 0.2326
P = 1 − 0.2326 = 0.7674
答案
P = 0.7674
4.概率
答案: P = 0.08704
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.45 = 0.01024
P(X = 1) = 5·0.6·0.44 = 0.0768
相加
P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704
答案
P = 0.08704
5.正态分布
答案: P = 0.02275
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
标准化
z = (837 − 765)/36 = 2
概率
P = 1 − Φ(2) = 0.02275
答案
P = 0.02275
6.正态分布
答案: x = 434 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.05
由表得到的 z
z ≈ −1.64
回到原来的单位
x = 500 − 1.64·40 = 434 h
答案
x = 434 h
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9525
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 435/6 = 72.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217
Syy = Σ(y − ȳ)² = 741.5
相关系数
r = 217/√(70·741.5) = 0.9525
答案
r = 0.9525
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 53.29
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 402/6 = 67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120
回归直线
b = 120/17.5 = 6.857
a = 67 − 6.857·4.5 = 36.14
ŷ = 36.14 + 6.857·x
预测
ŷ = 36.14 + 6.857·2.5 = 53.29
答案
ŷ = 53.29
9.置信区间
答案: E = 5.573
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.064
误差范围
E = 2.064·13.5/√25 = 5.573
答案
E = 5.573
10.置信区间
答案: n = 904
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·23/1.5)² = 903.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 904
答案
n = 904
11.假设检验与置信区间
答案: z = −3.188
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(11²/30 + 8²/60) = √5.1 = 2.258
检验统计量
z = (57 − 64.2)/2.258 = −3.188
答案
z = −3.188
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: z = −1.666
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 38/150 = 0.2533
p̂₂ = 99/300 = 0.33
p̂ = 137/450 = 0.3044
H₀ 下的标准误
SE = √(0.3044·0.6956·(1/150 + 1/300)) = 0.04602
检验统计量
z = (0.2533 − 0.33)/0.04602 = −1.666
答案
z = −1.666
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
13.卡方检验
答案: χ² = 2.976
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 60·54/180 = 18, 60·126/180 = 42
不吸烟者: 120·54/180 = 36, 120·126/180 = 84
卡方统计量
χ² = (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (31 − 36)²/36 + (89 − 84)²/84
χ² = 2.976
答案
χ² = 2.976
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
14.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 − 1 = 6
答案
df = 6
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