数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. A每个 NP 问题都能在指数时间内求解
  2. B停机问题是不可判定的
  3. CP 不等于 NP
  4. D布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

  1. A拉链法（Separate chaining）
  2. B双重哈希（Double hashing）
  3. C二次探测（Quadratic probing）
  4. D线性探测（Linear probing）
4.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

  1. A其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
  2. B它们不需要再平衡
  3. C它们以无序方式存储数据
  4. D它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
81171821120127ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

C · O(2ⁿ)
2.算法与复杂度

答案: D · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

D · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: A · 拉链法（Separate chaining）

为什么是这个答案

拉链法为每个桶维护一个链表（或其他结构）；开放寻址法则在表内寻找另一个空槽。

答案

A · 拉链法（Separate chaining）
4.数据结构

答案: A · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

为什么是这个答案

B 树每个节点存储多个键，因此高度很小，每次查找只需读取少量磁盘块；B+ 树还将叶子节点链接起来以支持范围扫描。

答案

A · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

A, B, D, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 46

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BD (1): 取
DF (2): 取
GE (7): 取
AC (8): 取
EF (11): 取
GD (12): 跳过，会形成圈
CE (17): 取

总权重

W = 1 + 2 + 7 + 8 + 11 + 17 = 46

答案

W = 46

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