数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A长度为 2 的数组
  2. B已经有序的数组
  3. C所有元素都不相同的数组
  4. D随机顺序的数组
2.算法与复杂度困难

关于 little-o 记号，下列哪个说法是正确的？

  1. A2n = o(n)，因为 2n 增长得慢
  2. Bn = o(n²)，但 n 不是 o(n)
  3. Cn = o(n)，因为每个函数都是自身的 little-o
  4. Dn² = o(n)
3.数据结构中等

如何向二叉堆中插入一个新元素？

  1. A把它放在根上，再将其下沉（sift down）
  2. B把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
  3. C从头重建整个堆
  4. D通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
4.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

  1. A一棵为每个元素重建的二叉搜索树
  2. B一个保存尚在等待答案的元素的栈
  3. C一个保存每一对元素的队列
  4. D一个包含所有元素的哈希表
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
ABCDEF

长度为 3 且起点和终点都是 E 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

B · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: B · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)

为什么是这个答案

f = o(g) 表示 f(n) / g(n) 趋于 0；n / n² 趋于 0，而 n / n = 1 则不然。

答案

B · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)
3.数据结构

答案: B · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）

为什么是这个答案

在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。

答案

B · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
4.数据结构

答案: B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

为什么是这个答案

从左向右扫描，弹出栈中所有比当前元素小的元素（当前元素就是它们的答案），然后把当前元素压入；每个元素最多移动两次。

答案

B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: N = 6

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)EE = 2·0 + 2·1 + 1·1 + 2·1 + 4·0 + 1·1 = 6

答案

N = 6

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