数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

  1. A最小生成树
  2. B从起始节点出发、按边数计的最短路径
  3. C所有图的拓扑序
  4. D含负权重边的图中的最短路径
2.算法与复杂度困难

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A总是它的父节点
  2. B其左子树中最右边的节点
  3. C其右子树中最左边的节点
  4. D总是它的右子节点
4.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

  1. A其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
  2. B它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
  3. C它们不需要再平衡
  4. D它们以无序方式存储数据
5.图论中等

一个连通图有 12 个顶点和 12 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 12|E| = 12
k =
6.图论困难
8446151442ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 从起始节点出发、按边数计的最短路径

为什么是这个答案

BFS 按照与源点的距离（边数）顺序访问节点，因此能在 O(V + E) 内求出无权最短路径。

答案

B · 从起始节点出发、按边数计的最短路径
2.算法与复杂度

答案: A · O(n log n)

为什么是这个答案

总数为 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn，而调和数 Hn 是 Θ(log n)。

答案

A · O(n log n)
3.数据结构

答案: C · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

C · 其右子树中最左边的节点
4.数据结构

答案: A · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

为什么是这个答案

B 树每个节点存储多个键，因此高度很小，每次查找只需读取少量磁盘块；B+ 树还将叶子节点链接起来以支持范围扫描。

答案

A · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论

答案: k = 1

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

12 − 1 = 11

要去掉的边数

k = 12 − 11 = 1

答案

k = 1
6.图论

答案: d(F) = 14

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 8, C: 4
C (4)
B (8): D: 14, E: 10
E (10): F: 14
D (14)
F (14)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 14

答案

d(F) = 14

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