数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A已经有序的数组
  2. B长度为 2 的数组
  3. C所有元素都不相同的数组
  4. D随机顺序的数组
2.算法与复杂度困难

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.数据结构中等

在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

  1. A它们以无序方式存储数据
  2. B它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
  3. C其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
  4. D它们不需要再平衡
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 3
L =
6.图论困难
ABCDEF

从 A 到 C 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

A · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: B · O(n log n)

为什么是这个答案

总数为 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn，而调和数 Hn 是 Θ(log n)。

答案

B · O(n log n)
3.数据结构

答案: B · O(log n)

为什么是这个答案

平衡树的高度约为 log₂ n，因此查找只需沿着从根到叶的一条路径进行。

答案

B · O(log n)
4.数据结构

答案: C · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

为什么是这个答案

B 树每个节点存储多个键，因此高度很小，每次查找只需读取少量磁盘块；B+ 树还将叶子节点链接起来以支持范围扫描。

答案

C · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
5.图论

答案: L = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

答案

L = 5

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: N = 5

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

再走一步

(M³)AC = 2·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 + 0·0 = 5

答案

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms