数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for j = 1 to i: 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n³)
2.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n²)
3.数据结构中等

AVL 树和红黑树保证：

  1. A没有节点拥有两个子节点
  2. B通过再平衡使高度为 O(log n)
  3. C键按插入顺序存储
  4. D在任何情况下查找都是常数时间
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
  2. B它不占用额外内存
  3. C利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
  4. D它以无序方式存储键
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
413102121329ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n²)

为什么是这个答案

内层循环体总共执行 n(n + 1) / 2 次，仍然是平方级的。

答案

C · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: B · Θ(n log n)

为什么是这个答案

log(n!) ≤ n log n，而最大的 n / 2 个因子给出 log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)；这就是比较排序需要 Ω(n log n) 的原因。

答案

B · Θ(n log n)
3.数据结构

答案: B · 通过再平衡使高度为 O(log n)

为什么是这个答案

自平衡树使高度保持对数级，因此查找、插入和删除在最坏情况下都是 O(log n)。

答案

B · 通过再平衡使高度为 O(log n)
4.数据结构

答案: C · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

C · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: d(F) = 8

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4, C: 13
B (4): D: 6, E: 13
D (6): F: 8
F (8)
C (13)
E (13)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 8

答案

d(F) = 8

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