数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么在 Big O 中通常省略对数的底，例如写成 O(log n)？

  1. A不同底的对数之间只相差一个常数因子
  2. B底只在 n 很小时才有影响
  3. C对数总是被四舍五入为整数
  4. D计算机科学中所有对数的底都是 10，所以可以省略
2.算法与复杂度困难

最短简单路径可以在多项式时间内求出。在一般图中求两个顶点之间的最长简单路径，已知情况如何？

  1. A它是 NP 难的
  2. B它是不可判定的
  3. C总能在 O(V + E) 内求解
  4. D可以把权重取反后用 Dijkstra 算法求解
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. A2i 和 2i + 1
  2. B2i + 1 和 2i + 2
  3. Ci + 1 和 i + 2
  4. Di/2 和 i/2 + 1
4.数据结构困难

你必须用 O(k) 的内存从 n 个数的数据流中保留最小的 k 个值。哪种方法能在 O(n log k) 时间内完成？

  1. A一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
  2. B一个保存最后 k 个值的 FIFO 队列
  3. C一个保存全部 n 个值的最小堆，最后从中弹出 k 个最小值
  4. D一个包含全部 n 个值的有序数组
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
129213106135ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 不同底的对数之间只相差一个常数因子

为什么是这个答案

换底相当于把对数乘以一个常数，而 Big O 忽略常数因子。

答案

A · 不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度

答案: A · 它是 NP 难的

为什么是这个答案

长度为 V − 1 的最长简单路径就是一条哈密顿路径，而这是一个 NP 完全问题；不过在有向无环图上，它可以在线性时间内求解。

答案

A · 它是 NP 难的
3.数据结构

答案: B · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

B · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: A · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根

为什么是这个答案

最大堆的根是所保留值中最大的；任何更小的新值都以 O(log k) 替换它，因此堆中始终保存着迄今为止最小的 k 个值。

答案

A · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: d(F) = 35

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 9
C (9): B: 11, E: 19
B (11): D: 24, E: 16
E (16): D: 22
D (22): F: 35
F (35)

最短路径

A → C → B → E → D → F
d(F) = 35

答案

d(F) = 35

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