数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(n) 的解是什么？

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

插入排序在有序输入上运行时间为 O(n)。这与比较排序的 Ω(n log n) 下界矛盾吗？

  1. A矛盾，因此这个下界是错的
  2. B不矛盾，因为插入排序不是比较排序
  3. C不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
  4. D矛盾，但仅对长度小于 100 的数组
3.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？

  1. A4 5 2 3 1
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.数据结构困难

用于拓扑排序的 Kahn 算法反复删除入度为 0 的顶点。哪种结构保存这些顶点？

  1. A按出度排序的最大堆
  2. B记录哪些顶点已被删除的邻接矩阵
  3. C由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
  4. D由所有访问过的边组成的栈
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
874311431510ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 6 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n²)

为什么是这个答案

工作量之和约为 n² / 2，这是选择排序的递推式，也是基准最差时快速排序的递推式。

答案

D · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: C · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入

为什么是这个答案

该下界是说，每种比较排序在某个规模为 n 的输入上都需要大约 n log n 次比较；特殊的输入可能快得多。

答案

C · 不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
3.数据结构

答案: A · 4 5 2 3 1

为什么是这个答案

后序遍历先处理 4 和 5，再处理 2，然后是 3，最后是根 1。

答案

A · 4 5 2 3 1
4.数据结构

答案: C · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）

为什么是这个答案

准备好的顶点保存在队列中；删除一个顶点会降低其邻居的入度，入度降为 0 的邻居被加入队列，总时间为 O(V + E)。

答案

C · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8, C: 7
2. C (7): E: 10, G: 22
3. B (8): D: 12, G: 11
4. E (10)
5. G (11)
6. D (12): F: 16
7. F (16)

轮 6

D

答案

D

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