数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(2m+n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn)
  4. DO(mn log n)
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A用深度优先搜索统计环的数量
  2. B在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  3. C它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
  4. D检查是否有边的权重为负
3.数据结构中等

如何在二叉搜索树中找到最小的键？

  1. A从根开始沿右子节点走，直到没有右子节点为止
  2. B从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
  3. C访问每个叶子并进行比较
  4. D只看根
4.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

  1. A存储图的边
  2. B通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
  3. C在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
  4. D实现栈
5.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 16 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 16
k =
6.图论困难
212138107118ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(mn)

为什么是这个答案

表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。

答案

C · O(mn)
2.算法与复杂度

答案: B · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

B · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: B · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止

为什么是这个答案

树中没有比最左节点更小的键，因此它就是最小值；代价与树的高度成正比。

答案

B · 从根开始沿左子节点走，直到没有左子节点为止
4.数据结构

答案: C · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

为什么是这个答案

线段树存储各区间的聚合值，支持在 O(log n) 时间内完成区间查询和单点更新。

答案

C · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
5.图论

答案: k = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 16 − 10 = 6

答案

k = 6
6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 2, C: 12
2. B (2): D: 15, E: 10
3. E (10): F: 21
4. C (12)
5. D (15)
6. F (21)

轮 4

C

答案

C

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