数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

哪种技术能使快速排序在任意输入上的期望运行时间为 O(n log n)？

  1. A均匀随机地选择基准
  2. B在运行快速排序前先对输入排序
  3. C只对左侧进行递归
  4. D总是选择第一个元素
3.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

  1. A自动补全等前缀查找
  2. B存储矩阵
  3. C求最短路径
  4. D对数字排序
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A按权重对边排序
  2. B检查一条边的两个端点是否已经连通
  3. C选择起始顶点
  4. D在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 10
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDEF

长度为 2 且起点和终点都是 D 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · 均匀随机地选择基准

为什么是这个答案

使用随机基准时，对每个输入的期望运行时间都是 O(n log n)；坏情况依然存在，但发生的概率极低。

答案

A · 均匀随机地选择基准
3.数据结构

答案: A · 自动补全等前缀查找

为什么是这个答案

字典树沿路径按字符存储字符串，因此查找和前缀查询的时间与键的长度成正比。

答案

A · 自动补全等前缀查找
4.数据结构

答案: B · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

B · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

奇度顶点

A, B, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

公共邻点

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

答案

N = 2

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