数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

朴素递归斐波那契（fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)）的时间复杂度是：

  1. A指数级
  2. B线性
  3. C常数
  4. D对数级
2.算法与复杂度困难

当 n 很大时，n! 与 2ⁿ 相比如何？

  1. An! 是 O(n²)
  2. B两者以相同的速率增长
  3. C2ⁿ 比 n! 增长得快
  4. Dn! 比 2ⁿ 增长得快
3.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

  1. AO(n)，因为后面的元素必须移动
  2. BO(1)，因为下标已知
  3. CO(log n)，因为使用二分查找
  4. DO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
4.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

  1. A保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
  2. B使哈希表有序
  3. C免去对表进行扩容的需要
  4. D使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
5.图论中等

一个连通图有 12 个顶点和 12 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 12|E| = 12
k =
6.图论困难
123138102134ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 指数级

为什么是这个答案

调用树大约按 φⁿ（约 1.618ⁿ）增长。记忆化可将其降为 O(n)。

答案

A · 指数级
2.算法与复杂度

答案: D · n! 比 2ⁿ 增长得快

为什么是这个答案

当 n ≥ 4 时，n! 超过 2ⁿ，而且两者之比无界地增长，因为 n! 每多出的一个因子都大于 2。

答案

D · n! 比 2ⁿ 增长得快
3.数据结构

答案: A · O(n)，因为后面的元素必须移动

为什么是这个答案

插入点之后的所有元素都要向右移动一位，所需时间与 n 成正比。

答案

A · O(n)，因为后面的元素必须移动
4.数据结构

答案: D · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键

为什么是这个答案

使用通用哈希时，对于任何键集合，冲突的期望次数都很小，因为攻击者不知道选择的是哪个函数。

答案

D · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
5.图论

答案: k = 1

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

12 − 1 = 11

要去掉的边数

k = 12 − 11 = 1

答案

k = 1
6.图论

答案: d(F) = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 3
C (3): E: 11
E (11): D: 21, F: 24
B (12)
D (21): F: 23
F (23)

最短路径

A → C → E → D → F
d(F) = 23

答案

d(F) = 23

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