数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

简单的递归阶乘函数 fact(n) = n × fact(n − 1) 使用多少栈空间？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.算法与复杂度困难

当 n 很大时，n! 与 2ⁿ 相比如何？

  1. An! 比 2ⁿ 增长得快
  2. B2ⁿ 比 n! 增长得快
  3. Cn! 是 O(n²)
  4. D两者以相同的速率增长
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C堆中的元素从不超过 100 个
  4. D堆中所有的键都相等
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
  2. B出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
  3. C它能使表变得有序
  4. D墓碑可以加快哈希计算
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1812711155910133ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

在任何调用返回之前，递归深度达到 n 层，每次调用都需要一个栈帧，因此使用 O(n) 的空间。

答案

B · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · n! 比 2ⁿ 增长得快

为什么是这个答案

当 n ≥ 4 时，n! 超过 2ⁿ，而且两者之比无界地增长，因为 n! 每多出的一个因子都大于 2。

答案

A · n! 比 2ⁿ 增长得快
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: A · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

A · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇度顶点

E, F → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: W = 46

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GE (3): 取
DF (5): 取
BD (7): 取
EF (9): 取
GC (10): 取
CE (11): 跳过，会形成圈
AC (12): 取

总权重

W = 3 + 5 + 7 + 9 + 10 + 12 = 46

答案

W = 46

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