数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么许多库排序函数在子数组很小时会改用插入排序？

  1. A插入排序在最坏情况下是 O(n log n)
  2. B递归算法无法处理少于 10 个元素的数组
  3. C在大规模输入上，插入排序比任何其他排序算法使用的内存都少
  4. D插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
2.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

  1. AX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
  2. BX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
  3. CX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
  4. DX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
3.数据结构中等

对二叉搜索树进行中序遍历时，访问键的顺序是：

  1. A层序
  2. B插入顺序
  3. C升序排列
  4. D始终为降序
4.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

  1. A在该节点处进行一次右旋
  2. B在该节点处进行一次左旋
  3. C先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
  4. D先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
188111512113159ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。

起点：A终点：E
d(E) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快

为什么是这个答案

对于很小的 n，插入排序的简单循环胜过快速排序或归并排序的递归开销，尽管它是 O(n²)。

答案

D · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
2.算法与复杂度

答案: D · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

属于 NP 说明 X 不比 NP 更难；从已知 NP 完全问题出发的归约说明 X 至少和整个 NP 一样难。

答案

D · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: C · 升序排列

为什么是这个答案

先访问左子树，再访问节点，最后访问右子树，可按有序顺序输出 BST 的键。

答案

C · 升序排列
4.数据结构

答案: C · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

为什么是这个答案

第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。

答案

C · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 1

奇度顶点

B, D, F, G → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(E) = 11

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1
B (1): C: 9, D: 9, G: 2
G (2): E: 11
C (9)
D (9): F: 24
E (11): F: 23
F (23)

最短路径

A → B → G → E
d(E) = 11

答案

d(E) = 11

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