数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A可以在多项式时间内解决
  2. B不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
  3. C属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
  4. D不可能被解决
3.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A其左子树中最右边的节点
  2. B其右子树中最左边的节点
  3. C总是它的父节点
  4. D总是它的右子节点
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度至多为 n / 2
  2. B高度至多为 log2 n + 1
  3. C高度恰好为 log2 n
  4. D高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
161518192097124ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

C · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: B · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

B · 其右子树中最左边的节点
4.数据结构

答案: D · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

D · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

奇度顶点

A, C, D, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 51

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BE (4): 取
DF (7): 取
DE (9): 取
EF (12): 跳过，会形成圈
AC (15): 取
AB (16): 取

总权重

W = 4 + 7 + 9 + 15 + 16 = 51

答案

W = 51

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