数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

哪种排序算法是稳定的？

  1. A选择排序（常见版本）
  2. B堆排序
  3. C快速排序（常见的原地版本）
  4. D归并排序
2.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

  1. AΘ(nlog₂ 7)，约为 n2.81
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n2)
3.数据结构中等

哈希表在负载因子超过阈值后进行再哈希（rehash）时会发生什么？

  1. A分配一个更大的表，并把每个键重新插入
  2. B对现有的键原地排序
  3. C删除最旧的键以腾出空间
  4. D只把发生冲突的键移到表末尾的新溢出链表中
4.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

  1. A一个保存每一对元素的队列
  2. B一个保存尚在等待答案的元素的栈
  3. C一棵为每个元素重建的二叉搜索树
  4. D一个包含所有元素的哈希表
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.图论困难
861122101012ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 归并排序

为什么是这个答案

当合并时遇到相等元素优先取左半部分，归并排序就是稳定的。原地快速排序、堆排序和选择排序通常不稳定。

答案

D · 归并排序
2.算法与复杂度

答案: A · Θ(nlog₂ 7)，约为 n2.81

为什么是这个答案

取 a = 7、b = 2，nlog₂ 7 压过 O(n²) 的加法工作量，结果约为 n2.81。

答案

A · Θ(nlog₂ 7)，约为 n2.81
3.数据结构

答案: A · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入

为什么是这个答案

由于下标是对表大小取模计算的，所有键都必须重新哈希到新的更大的表中；采用翻倍策略时，均摊代价仍为 O(1)。

答案

A · 分配一个更大的表，并把每个键重新插入
4.数据结构

答案: B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

为什么是这个答案

从左向右扫描，弹出栈中所有比当前元素小的元素（当前元素就是它们的答案），然后把当前元素压入；每个元素最多移动两次。

答案

B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈
5.图论

答案: L = 19

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: d(F) = 25

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): C: 8
C (8): B: 14, E: 20
B (14): D: 15
D (15): E: 17, F: 25
E (17)
F (25)

最短路径

A → C → B → D → F
d(F) = 25

答案

d(F) = 25

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