数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A用深度优先搜索统计环的数量
  2. B在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  3. C检查是否有边的权重为负
  4. D它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
3.数据结构中等

运行中的程序使用哪种数据结构来记录活动的函数调用及其局部变量？

  1. A由函数组成的哈希表
  2. B由栈帧组成的二叉搜索树
  3. C堆内存队列
  4. D调用栈
4.数据结构困难

布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：

  1. A可能出现假阴性，但不会出现假阳性
  2. B只能回答数字的情况
  3. C总是给出精确答案
  4. D可能出现假阳性，但不会出现假阴性
5.图论中等

完全图 K4 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K4
H =
6.图论困难
ABCDE

长度为 2 且起点和终点都是 E 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

C · O(1)
2.算法与复杂度

答案: B · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

B · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: D · 调用栈

为什么是这个答案

每次调用压入一个栈帧，每次返回弹出一个栈帧，这就是最近的调用最先结束的原因。

答案

D · 调用栈
4.数据结构

答案: D · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

为什么是这个答案

如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。

答案

D · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
5.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3
6.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

公共邻点

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

答案

N = 3

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