数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

简单的递归阶乘函数 fact(n) = n × fact(n − 1) 使用多少栈空间？

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A每次比较都需要对数时间
  2. B二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
  3. C有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  4. D每个元素都必须至少比较一次
3.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A总是它的右子节点
  2. B其右子树中最左边的节点
  3. C总是它的父节点
  4. D其左子树中最右边的节点
4.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

  1. A仅栈
  2. B仅二叉搜索树
  3. C单个有序数组
  4. D哈希表与双向链表相结合
5.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 22 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 22
k =
6.图论困难
103121820111716ABCDEFG

普里姆算法从顶点 D 出发构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边。

起点：Dk = 5
  1. 1边 AC
  2. 2边 BC
  3. 3边 CE
  4. 4边 DE
  5. 5边 DF
  6. 6边 EF
  7. 7边 GB
  8. 8边 GC
  9. 9边 GD

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

在任何调用返回之前，递归深度达到 n 层，每次调用都需要一个栈帧，因此使用 O(n) 的空间。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: C · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

C · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
3.数据结构

答案: B · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

B · 其右子树中最左边的节点
4.数据结构

答案: D · 哈希表与双向链表相结合

为什么是这个答案

哈希表在 O(1) 内找到节点，双向链表在 O(1) 内将被访问的元素移到前端，并从尾部淘汰元素。

答案

D · 哈希表与双向链表相结合
5.图论

答案: k = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 22 − 16 = 6

答案

k = 6
6.图论

答案: 边 GB

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DE (2)
2. CE (1)
3. BC (3)
4. AC (10)
5. GB (11)
6. DF (18)

边的序号 5

GB

答案

边 GB

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