数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

  1. A从起始节点出发、按边数计的最短路径
  2. B最小生成树
  3. C含负权重边的图中的最短路径
  4. D所有图的拓扑序
2.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

  1. AO(log n) 时间和 O(n) 空间
  2. BO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
  3. CO(n) 时间和 O(1) 空间
  4. DO(n) 时间和 O(n) 空间
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A堆中的元素从不超过 100 个
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
  4. D堆中所有的键都相等
4.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
1286212395ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径

为什么是这个答案

BFS 按照与源点的距离（边数）顺序访问节点，因此能在 O(V + E) 内求出无权最短路径。

答案

A · 从起始节点出发、按边数计的最短路径
2.算法与复杂度

答案: C · O(n) 时间和 O(1) 空间

为什么是这个答案

每一步只需要前两个值，因此自底向上方法中的表格可以用两个变量代替。

答案

C · O(n) 时间和 O(1) 空间
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

堆没有规定哪棵子树包含某个键，因此在最坏情况下必须检查所有节点；只有最小值能被快速找到。

答案

D · O(n)
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇度顶点

C, F → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 12, C: 8
2. C (8): E: 10
3. E (10): D: 22, F: 19
4. B (12)
5. F (19)
6. D (22)

轮 3

E

答案

E

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