数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for j = 1 to i: 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n³)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  2. B链表无法排序
  3. C链表节点上的比较更慢
  4. D二分查找至少需要两倍的内存
3.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
  2. B它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  3. C堆中的元素从不超过 100 个
  4. D堆中所有的键都相等
4.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

  1. A键只存储在根中
  2. B每个节点只存储一个键
  3. C所有叶子都位于同一深度
  4. D每个节点恰好有两个子节点
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
825714911115ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n²)

为什么是这个答案

内层循环体总共执行 n(n + 1) / 2 次，仍然是平方级的。

答案

B · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: A · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

A · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
3.数据结构

答案: B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

B · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
4.数据结构

答案: C · 所有叶子都位于同一深度

为什么是这个答案

节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。

答案

C · 所有叶子都位于同一深度
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇度顶点

A, B, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 8
2. B (8): C: 10, G: 17
3. C (10): E: 15, G: 11
4. G (11): D: 22
5. E (15)
6. D (22): F: 36
7. F (36)

轮 4

G

答案

G

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