数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A两者都意味着该问题根本没有算法
  2. B不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  3. C难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
  4. D不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A检查一条边的两个端点是否已经连通
  2. B按权重对边排序
  3. C选择起始顶点
  4. D在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
5.图论中等

一棵树有 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
1712111346810ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n)

为什么是这个答案

如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。

答案

A · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

D · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: D · O(1)

为什么是这个答案

第 u 行第 v 列的元素立即告诉你该边是否存在；邻接表则可能需要扫描 u 的邻居。

答案

D · O(1)
4.数据结构

答案: A · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

A · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: L = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 14 = 2(L + 4) − 2
L = 8

答案

L = 8

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 34

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (1): 取
CE (3): 取
EF (4): 取
GC (6): 取
GD (8): 取
GE (10): 跳过，会形成圈
BD (11): 跳过，会形成圈
AC (12): 取

总权重

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 34

答案

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms