数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

  1. A以 O(E log V) 计算最小生成树
  2. B以 O(V²) 计算拓扑序
  3. C以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
  4. D以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
2.算法与复杂度困难

哪种技术能使快速排序在任意输入上的期望运行时间为 O(n log n)？

  1. A总是选择第一个元素
  2. B只对左侧进行递归
  3. C均匀随机地选择基准
  4. D在运行快速排序前先对输入排序
3.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C5 4 3 2 1
  4. D4 2 5 1 3
4.数据结构困难

布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：

  1. A可能出现假阳性，但不会出现假阴性
  2. B总是给出精确答案
  3. C可能出现假阴性，但不会出现假阳性
  4. D只能回答数字的情况
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 42 × deg 5
L =
6.图论困难
201119151741412ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径

为什么是这个答案

Floyd–Warshall 是一种动态规划算法，依次允许每个顶点作为中间点，耗时 O(V³)。

答案

C · 以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
2.算法与复杂度

答案: C · 均匀随机地选择基准

为什么是这个答案

使用随机基准时，对每个输入的期望运行时间都是 O(n log n)；坏情况依然存在，但发生的概率极低。

答案

C · 均匀随机地选择基准
3.数据结构

答案: A · 4 5 2 3 1

为什么是这个答案

后序遍历先处理 4 和 5，再处理 2，然后是 3，最后是根 1。

答案

A · 4 5 2 3 1
4.数据结构

答案: A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

为什么是这个答案

如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。

答案

A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
5.图论

答案: L = 16

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 26 = 2(L + 6) − 2
L = 16

答案

L = 16

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 58

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DE (4): 取
AC (11): 取
BE (12): 取
EF (14): 取
BD (15): 跳过，会形成圈
CE (17): 取

总权重

W = 4 + 11 + 12 + 14 + 17 = 58

答案

W = 58

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