数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

均摊分析衡量的是什么？

  1. A序列中任何位置上单个最昂贵操作的代价
  2. B算法在最好输入上的代价
  3. C在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价
  4. D在随机输入上的期望代价
2.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

  1. A证明 X 能在多项式时间内被验证
  2. B把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
  3. C证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
  4. D把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. Ah2
  2. B2h + 1
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h
4.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

  1. A高度恰好为 log2 n
  2. B高度至多为 n / 2
  3. C高度至多为 log2 n + 1
  4. D高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
6.图论困难
ABCDEF

从 B 到 F 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价

为什么是这个答案

均摊分析把少数昂贵操作的代价分摊到许多廉价操作上，从而对任意操作序列给出有保证的平均值。

答案

C · 在最坏情况的操作序列上，每个操作的平均代价
2.算法与复杂度

答案: B · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

如果一个已知的难题能被高效地转换为 X，那么 X 的快速算法也能解决这个已知问题。

答案

B · 把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: C · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

C · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: D · 高度至多为 2 log2(n + 1)

为什么是这个答案

每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。

答案

D · 高度至多为 2 log2(n + 1)
5.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
6.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 0 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)BF = 1·0 + 0·0 + 0·0 + 0·1 + 1·1 + 0·0 = 1

答案

N = 1

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