数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.算法与复杂度困难

不可判定问题与难解问题有什么区别？

  1. A两者都意味着该问题根本没有算法
  2. B不可判定问题属于 NP，而难解问题属于 P
  3. C不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
  4. D难解问题无法被任何算法求解，而不可判定问题只需要指数时间
3.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

  1. A邻接矩阵
  2. B一个由边组成的二叉堆
  3. C邻接表
  4. D一个有序的顶点数组
4.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

  1. A前缀和查询和单个元素更新
  2. B在任意位置插入元素
  3. C对数组排序和二分查找
  4. D以 O(1) 求中位数
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
14141213118ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

D · O(1)
2.算法与复杂度

答案: C · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢

为什么是这个答案

停机问题根本没有算法；TSP 这样的 NP 难问题可以用蛮力法求解，只是没有已知的多项式时间算法。

答案

C · 不可判定问题没有任何能处理所有输入的算法，而难解问题有算法，但太慢
3.数据结构

答案: C · 邻接表

为什么是这个答案

矩阵需要 1010 个单元，几乎全是空的；邻接表只存储大约 400,000 个边表项。

答案

C · 邻接表
4.数据结构

答案: A · 前缀和查询和单个元素更新

为什么是这个答案

树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。

答案

A · 前缀和查询和单个元素更新
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

奇度顶点

A, B, C, D, E, G → 6
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 15, D: 18, E: 22
3. C (15)
4. D (18): E: 19, F: 21
5. E (19)
6. F (21)

轮 4

D

答案

D

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