数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
  2. B正确，但仅当 n 小于 100 时
  3. C不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  4. D不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
2.算法与复杂度困难

Held–Karp 动态规划算法能精确求解旅行商问题。对 n 个城市，它的运行时间是多少？

  1. AO(2n²)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n³)
  4. DO(n!)
3.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. C2h
  4. Dh2
4.数据结构困难

与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？

  1. A它以无序方式存储键
  2. B它不占用额外内存
  3. C利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
  4. D保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.图论困难
461471032565ABCDEFG

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

A · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: B · O(n² 2ⁿ)

为什么是这个答案

大约有 n 2ⁿ 个状态，每个状态在 O(n) 内算出；这是指数级的，但比尝试全部 (n − 1)! 条回路快得多。

答案

B · O(n² 2ⁿ)
3.数据结构

答案: B · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

B · 2h+1 − 1
4.数据结构

答案: C · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找

为什么是这个答案

随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。

答案

C · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
5.图论

答案: L = 14

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

答案

L = 14

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: C

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 4, C: 6
2. B (4): D: 11, G: 9
3. C (6)
4. G (9)
5. D (11): E: 21, F: 14
6. F (14): E: 16
7. E (16)

轮 3

C

答案

C

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