数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

  1. A约 500,000 次
  2. B约 100 次
  3. C约 20 次
  4. D约 1,000 次
2.算法与复杂度困难

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) 执行 O(1) 的工作？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n √n)
3.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

  1. AO(1)，因为下标已知
  2. BO(n)，因为后面的元素必须移动
  3. CO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
  4. DO(log n)，因为使用二分查找
4.数据结构困难

伸展树（splay tree）在每次访问之后做什么？

  1. A把被访问的节点移到叶子
  2. B把整棵树重建成平衡形式
  3. C通过旋转把被访问的节点移到根
  4. D对查找路径上的节点重新着色
5.图论中等
ABCDEFG欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 8
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
8161121520101917ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 约 20 次

为什么是这个答案

220 ≈ 1,048,576，因此大约减半 20 次后只剩下一个元素。

答案

C · 约 20 次
2.算法与复杂度

答案: A · O(n log n)

为什么是这个答案

总数为 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn，而调和数 Hn 是 Θ(log n)。

答案

A · O(n log n)
3.数据结构

答案: B · O(n)，因为后面的元素必须移动

为什么是这个答案

插入点之后的所有元素都要向右移动一位，所需时间与 n 成正比。

答案

B · O(n)，因为后面的元素必须移动
4.数据结构

答案: C · 通过旋转把被访问的节点移到根

为什么是这个答案

伸展操作通过旋转把被访问的节点移到根；单次操作可能代价为 O(n)，但均摊代价为 O(log n)。

答案

C · 通过旋转把被访问的节点移到根
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇度顶点

A, B, D, E → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 66

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BD (1): 取
AB (8): 取
GC (10): 取
CE (12): 取
DE (15): 取
AC (16): 跳过，会形成圈
GE (17): 跳过，会形成圈
GD (19): 跳过，会形成圈
EF (20): 取

总权重

W = 1 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 = 66

答案

W = 66

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