数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

  1. A在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
  2. B用深度优先搜索统计环的数量
  3. C检查是否有边的权重为负
  4. D它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
3.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

  1. AO(n)，因为后面的元素必须移动
  2. BO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
  3. CO(1)，因为下标已知
  4. DO(log n)，因为使用二分查找
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A它能使表变得有序
  2. B出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
  3. C墓碑可以加快哈希计算
  4. D清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论中等

一个连通图有 7 个顶点和 14 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 7|E| = 14
k =
6.图论困难
155117182010916ABCDEFG

普里姆算法从顶点 C 出发构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边。

起点：Ck = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 DF
  8. 8边 GB
  9. 9边 GD
  10. 10边 GE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(1)

为什么是这个答案

只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。

答案

D · O(1)
2.算法与复杂度

答案: A · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

为什么是这个答案

所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。

答案

A · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
3.数据结构

答案: A · O(n)，因为后面的元素必须移动

为什么是这个答案

插入点之后的所有元素都要向右移动一位，所需时间与 n 成正比。

答案

A · O(n)，因为后面的元素必须移动
4.数据结构

答案: D · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

D · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: k = 8

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

7 − 1 = 6

要去掉的边数

k = 14 − 6 = 8

答案

k = 8
6.图论

答案: 边 GE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (5)
2. BC (11)
3. BD (7)
4. GD (1)
5. GE (6)
6. DF (10)

边的序号 5

GE

答案

边 GE

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