数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

为什么哈希表的平均查找时间是 O(1)，而最坏情况是 O(n)？

  1. A许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
  2. B哈希函数运行很慢
  3. C数组的访问时间是 O(n)
  4. D键必须先排序
3.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

  1. A左右子树的高度之差至多为 1
  2. B每个节点都被着成红色或黑色
  3. C所有叶子都恰好位于同一深度
  4. D每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
4.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

  1. A对数组排序和二分查找
  2. B在任意位置插入元素
  3. C前缀和查询和单个元素更新
  4. D以 O(1) 求中位数
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
131862192010ABCDEF

普里姆算法从顶点 D 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Dk = 3
  1. 1边 AC
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

C · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: A · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中

为什么是这个答案

在哈希函数和负载因子（load factor）良好的情况下，桶的平均长度很短；恶意构造的输入或较差的哈希可能把所有键放进同一个桶。

答案

A · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
3.数据结构

答案: A · 左右子树的高度之差至多为 1

为什么是这个答案

平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。

答案

A · 左右子树的高度之差至多为 1
4.数据结构

答案: C · 前缀和查询和单个元素更新

为什么是这个答案

树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。

答案

C · 前缀和查询和单个元素更新
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: 边 BD

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DE (1)
2. CE (2)
3. BD (6)
4. DF (9)
5. AC (13)

边的序号 3

BD

答案

边 BD

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