数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

  1. A正确，但仅当 n 小于 100 时
  2. B不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
  3. C不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
  4. D正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度困难

一次加一操作可能翻转许多位，那么二进制计数器加一的均摊代价是多少？

  1. A每次加一 O(n log n)
  2. B每次加一 O(1)
  3. C每次加一 O(log n)
  4. D每次加一 O(n)
3.数据结构中等

为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？

  1. A数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
  2. B链表总是把元素存储在磁盘上
  3. C数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
  4. D数组比较数值所用的指令更少
4.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

  1. A不同的键必须具有不同的哈希值
  2. B哈希值必须是素数
  3. C相等的键必须具有相等的哈希值
  4. D哈希值相等意味着键相等
5.图论中等

完全图 K4 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K4
H =
6.图论困难
4195151418163ABCDEFG

普里姆算法从顶点 F 出发构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边。

起点：Fk = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DF
  7. 7边 GB
  8. 8边 GC
  9. 9边 GD

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

为什么是这个答案

Big O 是上界，因此这个说法是对的，但不是紧确的；Θ(n²) 给出的才是确切的增长率。

答案

D · 正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
2.算法与复杂度

答案: B · 每次加一 O(1)

为什么是这个答案

在 n 次加一中，第 i 位大约翻转 n / 2ⁱ 次，因此总翻转次数少于 2n，平均每次为 O(1)。

答案

B · 每次加一 O(1)
3.数据结构

答案: C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存

为什么是这个答案

连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。

答案

C · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
4.数据结构

答案: C · 相等的键必须具有相等的哈希值

为什么是这个答案

如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。

答案

C · 相等的键必须具有相等的哈希值
5.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3
6.图论

答案: 边 BC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. DF (18)
2. GD (3)
3. GB (1)
4. AB (4)
5. BC (5)
6. CE (14)

边的序号 5

BC

答案

边 BC

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