数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

  1. A完全没有子问题，因此一步就能解决
  2. B只有一个循环
  3. C重叠子问题和最优子结构
  4. D只有随机输入
2.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

  1. A停机问题是不可判定的
  2. BP 不等于 NP
  3. C布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
  4. D每个 NP 问题都能在指数时间内求解
3.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

  1. A无序集合
  2. B栈
  3. C最小优先队列
  4. DFIFO 队列
4.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.图论中等

一个连通图有 6 个顶点和 15 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 6|E| = 15
k =
6.图论困难
11734371515ABCDEF

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 重叠子问题和最优子结构

为什么是这个答案

存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。

答案

C · 重叠子问题和最优子结构
2.算法与复杂度

答案: C · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的

为什么是这个答案

Cook 和 Levin 各自独立地证明了 NP 中的每个问题都能在多项式时间内归约到 SAT，因此 SAT 是第一个已知的 NP 完全问题。

答案

C · 布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
3.数据结构

答案: C · 最小优先队列

为什么是这个答案

最小优先队列（通常是二叉堆）能高效地返回距离最小的未访问顶点。

答案

C · 最小优先队列
4.数据结构

答案: D · O(log n)

为什么是这个答案

减小键值后，元素最多上浮（sift up）堆的高度那么多层。斐波那契堆可实现均摊 O(1) 的 decrease-key。

答案

D · O(log n)
5.图论

答案: k = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

6 − 1 = 5

要去掉的边数

k = 15 − 5 = 10

答案

k = 10
6.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 11, C: 7
2. C (7): B: 10, E: 11
3. B (10)
4. E (11): D: 14, F: 26
5. D (14): F: 21
6. F (21)

轮 5

D

答案

D

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